Mặt cầu (S) có tâm \(I(3;1;1)\) và bán kính \(R = 2\).

Ta có\(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;0;6} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {2;0;6} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 24;0} \right)\).

Mặt phẳng (ABC) nhận \(\overrightarrow n  = \frac{{ - 1}}{{24}}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;1;0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(y - 2 = 0\).

Ta có thể tích S.ABC đạt giá trị lớn nhất khi \(d(S,(ABC))\) đạt giá trị lớn nhất.

Mà \(d(I,(ABC)) = 1 < R = 2\)

\( \Rightarrow d{(S,(ABC))_{\max }} = R + d(I,(ABC)) = 3.\)

Ta có

\({V_{S.AB{C_{\max }}}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.d{(S,(ABC))_{\max }} = \frac{1}{3}.12.3 = 12\).

Do đó ta điền như sau

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 4\) và ba điểm \(A( - 1;2; - 3),B(5;2;3),C(1;2;3)\). Gọi \(S\) là điểm thay đổi trên mặt cầu \((S)\). Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC là (1) 12.