Mặt cầu \(({\rm{S}})\) có tâm \({\rm{I}}(1;0;2)\) và bán kính \({\rm{R}} = \sqrt {10} \). Có

\(\overrightarrow {{\rm{IA}}} = (0;2; - 6);{\rm{IA}} = \sqrt {{2^2} + {6^2}} = 2\sqrt {10} = 2{\rm{R}}\).

Gọi C là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow {IC} = \frac{1}{4}\overrightarrow {IA} = \left( {0;\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right) \Rightarrow C\left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\].

Có \({\rm{I}}{{\rm{M}}^2} = {\rm{IC}}\). IA \( \Rightarrow \Delta {\rm{IMC}}\~\Delta {\rm{IAM}}\) (c. g.c)

\( \Rightarrow \frac{{{\rm{MA}}}}{{{\rm{MC}}}} = \frac{{{\rm{IA}}}}{{{\rm{IM}}}} = 2 \Rightarrow {\rm{MA}} = 2{\rm{MC}} \Rightarrow {\rm{MA}} + 2{\rm{MB}} = 2({\rm{MB}} + {\rm{MC}}) \ge {\rm{BC}}\).

Đẳng thức xảy ra khi \({\rm{M}}\) trùng \({\rm{M'}}\) là giao của đoạn \({\rm{BC}}\) với (S).

M' thuộc đoạn BC \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {CM'} = k\overrightarrow {CB} = \left( {0;\frac{3}{2}k;\frac{{27}}{2}k} \right)(k > 0)\] \( \Leftrightarrow M'\left( {1;\frac{1}{2} + \frac{3}{2}{\rm{k}};\frac{1}{2} + \frac{{27}}{2}{\rm{k}}} \right)\).

Ta có \({\rm{M'}} \in ({\rm{S}}) \Leftrightarrow {\rm{IM'}} = \sqrt {10} \Leftrightarrow 0 + {\left( {\frac{1}{2} + \frac{3}{2}{\rm{k}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{27}}{2}{\rm{k}} - \frac{3}{2}} \right)^2} = 10\)

\( \Leftrightarrow \frac{{369}}{2}{k^2} - 39k - \frac{{15}}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\rm{k}} = \frac{1}{3}\)(nhận) hoặc \(k = - \frac{5}{{41}}\) (loại).

Với \(k = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow {\rm{M'}}(1;1;5)\).

Vậy \(a + b + c = 7\). Chọn D.