Điều kiện: \(\sin x + \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có:

\(\frac{{\sin x.\sin 2x + 2\sin x.{{\cos }^2}x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sin x.\sin 2x + \sin 2x.\cos x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x(\sin x + \cos x) + (\sin x + \cos x)}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \frac{{(\sin x + \cos x)(\sin 2x + 1)}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x + 1 = \sqrt 3 \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\sin 2x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{6} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Kết hợp điều kiện, ta có: \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Với k nguyên, ta có \( - 4 < \frac{\pi }{{12}} + {\rm{k}}\pi < 4 \Leftrightarrow {\rm{k}} \in \{ - 1;0;1\} \).

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm. Chọn A.