Phương pháp giải

Bước 1: Tìm khoảng đồng biến của hàm số đã cho bằng cách sử dụng kiến thức: Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a > 0)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\).

Bước 2: Tìm \(m\) bằng cách sử dụng kiến thức: Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;2)\) thì \(( - \infty ;2) \subset \left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\). Tức là, \(2 \le  - \frac{b}{{2a}}\).

Bước 3: Kết luận.

Lời giải

Ta có \( - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{2m + 1}}{{2.1}} =  - \frac{{2m + 1}}{2}\).

Suy ra hàm số \(y = {x^2} + (2m + 1)x - m + 3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{{2m + 1}}{2}} \right)\).

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;2)\) khi và chỉ khi

\(( - \infty ;2) \subset \left( { - \infty ; - \frac{{2m + 1}}{2}} \right){\rm{. }}\)

Tức là, \(2 \le  - \frac{{2m + 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{2} \le  - 2 \Leftrightarrow 2m + 1 \le  - 4 \Leftrightarrow 2m \le  - 5 \Leftrightarrow m \le  - \frac{5}{2}\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right]\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.