Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3\);

\(\overrightarrow {BC} = \left( {4;1;1} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{4^2} + {1^2} + {1^2}} = 3\sqrt 2 \).

Theo giả thiết \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) và có diện tích bằng \(6\sqrt 2 \) nên

\(\frac{1}{2}AB\left( {AD + BC} \right) = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3\left( {AD + 3\sqrt 2 } \right) = 6\sqrt 2 \Leftrightarrow AD = \sqrt 2 \Rightarrow AD = \frac{1}{3}BC\).

Do \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) nên \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a - 1 = \frac{4}{3}\\b - 2 = \frac{1}{3}\\c - 1 = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{7}{3}\\b = \frac{7}{3}\\c = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 6\).