Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác A'BC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). M là trung điểm cạnh CC'.

Quang Minh

Đã trả lời bởi chuyên gia

· 6 ngày trước

Đã trả lời bởi chuyên gia

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A'BC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$. $M$ là trung điểm cạnh $CC'$. Tính côsin góc $\alpha $, biết $\alpha $ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AA'} $ và $\overrightarrow {BM} $.

A. $\cos \alpha = \frac{{2\sqrt {22} }}{{11}}.$

B. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}.$

C. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {11} }}{{11}}.$

D. $\cos \alpha = \frac{{\sqrt {22} }}{{11}}.$

Trả Lời

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 19

Ngọc Anh

6 ngày trước

Đáp án đúng là: B

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: $AH = A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ và $AH \bot BC,A'H \bot BC$ $ \Rightarrow BC \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow BC \bot AA'$ hay $BC \bot BB'$. Do đó, $BCC'B'$ là hình chữ nhật.

Khi đó, $CC' = AA' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$ $ \Rightarrow BM = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}.6}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt {22} }}{4}$.

Xét $\vec{A A^{'}} . \vec{B M} = \vec{A A^{'}} . (\vec{B C} + \vec{C M}) = \vec{A A^{'}} . \vec{B C} + \vec{A A^{'}} . \vec{C M} = 0 + |\vec{A A^{'}}| . |\vec{C M}| . \cos 0 ° = \frac{3 a^{2}}{4} .$

Suy ra $\cos α = \cos (\vec{A A^{'}}, \vec{B M}) = \frac{\vec{A A^{'}} . \vec{B M}}{|\vec{A A^{'}}| . |\vec{B M}|} = \frac{\frac{3 a^{2}}{4}}{\frac{a \sqrt{6}}{2} . \frac{a \sqrt{22}}{4}} = \frac{\sqrt{33}}{11} .$