Giá trị lớn nhất của hàm số \({\rm{f}}({\rm{x}}) = 2\sin {\rm{x}} - \frac{4}{3}{\sin ^3}{\rm{x}}\) trên \([0;\pi ]\) bằng \(\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}\sqrt {\rm{c}} \) với \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} \in {\mathbb{N}^*},\;{\rm{b}} < 6,{\rm{c}}\) là một số nguyên tố. Giá trị của \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}\) là bao nhiêu?
Quảng cáo
1 câu trả lời 4
Đáp số: 7.
Đặt \(t = \sin {\rm{x}},{\rm{t}} \in [0;1].\) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \({\rm{g}}({\rm{t}}) = 2{\rm{t}} - \frac{4}{3}{{\rm{t}}^3}\quad \) trên \([0;1].\quad {{\rm{g}}^\prime }({\rm{t}}) = 2 - 4{{\rm{t}}^2},\;{{\rm{g}}^\prime }({\rm{t}}) = 0 \Leftrightarrow {\rm{t}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad (\) vì \({\rm{t}} \ge 0).\) \({\rm{g}}(0) = 0;{\rm{g}}(1) = \frac{2}{3};{\rm{g}}\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\) Giá trị lớn nhất của \({\rm{f}}({\rm{x}})\) là \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
Suy ra \({\rm{a}} = 2,\;{\rm{b}} = 3,{\rm{c}} = 2\) và \({\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} = 7.\)
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
105674 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
95253 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
73447

