Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật

Xét tứ giác AEHF, ta có:

$\widehat{EAF} = \widehat{BAC} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại A)
$\widehat{AEH} = 90^\circ$ (do $HE \perp AB$ tại E)
$\widehat{AFH} = 90^\circ$ (do $HF \perp AC$ tại F)
Tứ giác AEHF có 3 góc vuông ($\widehat{EAF} = \widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$) nên AEHF là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $AD = BC$

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM ứng với cạnh huyền BC:

$AM = \frac{1}{2}BC \implies BC = 2AM$
Theo giả thiết, M là trung điểm của AD (vì $MA = MD$ và M nằm trên tia AM):

$AD = AM + MD = 2AM$
Từ hai điều trên suy ra: $AD = BC$ (vì cùng bằng $2AM$).

c) Chứng minh $AM \perp EF$

Gọi I là giao điểm của AH và EF.

Do AEHF là hình chữ nhật (theo câu a), hai đường chéo AH và EF bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm I mỗi đường, suy ra $IA = IE = IH = IF$.
Do $IA = IE \implies \triangle IAE$ cân tại I $\implies \widehat{AEI} = \widehat{EAI}$ (hay $\widehat{AEF} = \widehat{BAH}$).
Mặt khác, trong $\triangle ABC$ vuông tại A, trung tuyến AM có $MA = MB = \frac{1}{2}BC$:

$\triangle MAB$ cân tại M $\implies \widehat{MAB} = \widehat{B}$.
Xét $\triangle ABH$ vuông tại H:

$\widehat{BAH} + \widehat{B} = 90^\circ$
Thay các góc bằng nhau vào:

$\widehat{AEF} + \widehat{MAB} = 90^\circ$
Gọi K là giao điểm của AM và EF. Trong $\triangle AKE$:

$\widehat{AKE} = 180^\circ - (\widehat{AEF} + \widehat{MAE}) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Vậy $AM \perp EF$ tại K.

$\color{red}{\mathcal{leducthienphuoc}}$

...Xem thêm

Answer 2