a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Ta có: y' = \(\frac{{2x\left( {x + 1} \right) - {x^2} - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ x² + 2x – 8 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −4.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −4) và (2; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−4; −1) và (−1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = −4, y_CĐ = −8.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = 4.

b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Ta có: y' = \(\frac{{\left( {2x - 8} \right)\left( {x - 2} \right) - {x^2} + 8x - 10}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) .

Nhận thấy y' > 0, với mọi x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).

Hàm số không có cực trị.

c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\)

Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có: y' = \(\frac{{\left( { - 4x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - 2\left( { - 2{x^2} + x + 2} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{ - 4{x^2} + 4x - 5}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)= \(\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2} - 6}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)

Nhận thấy y' < 0, với mọi x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}.\)

Tập xác định: D = ℝ\{−3}.

Ta có: y' =\(\frac{{\left( { - 2x - 6} \right)\left( {x + 3} \right) + {x^2} + 6x + 25}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{ - {x^2} - 6x + 7}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ \(\frac{{ - {x^2} - 6x + 7}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −7.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−7; −3) và (−3; 1).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −7) và (1; +∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y_CĐ = −8.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −7, y_CT = 8.