a) Chứng minh tứ giác $ACED$ là hình bình hành
 

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên ta có $AD \parallel BC$ và $AD = BC$.
Theo giả thiết, $C$ là trung điểm của $BE$ nên 3 điểm $B, C, E$ thẳng hàng và $BC = CE$.
Từ hai điều trên, ta suy ra: 
$AD \parallel CE$ (vì $C$ nằm trên đường thẳng $BC$).
$AD = CE$ (vì cùng bằng $BC$). [1]

Tứ giác $ACED$ có một cặp cạnh đối $AD$ và $CE$ vừa song song vừa bằng nhau. [2]

$\Rightarrow$ Tứ giác $ACED$ là hình bình hành (Đpcm).

b) Chứng minh tứ giác $BDEF$ là hình thoi
 

Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$. Vì $D, C, F$ thẳng hàng nên $AB \parallel CF$.
Xét hai tam giác $\triangle ABM$ và $\triangle FCM$: 
$\angle BAM = \angle CFM$ (hai góc so le trong do $AB \parallel CF$).
$BM = CM$ ($M$ là trung điểm của $BC$).
$\angle AMB = \angle FMC$ (hai góc đối đỉnh).
Do đó, $\triangle ABM = \triangle FCM$ (g-c-g).
Suy ra $AB = FC$ (hai cạnh tương ứng). [3]

Mà $AB = CD$ nên $CD = CF$, hay $C$ là trung điểm của $DF$.
Xét tứ giác $BDEF$: 
Hai đường chéo $BE$ và $DF$ cắt nhau tại trung điểm $C$ của mỗi đường (vì $C$ là trung điểm của cả $BE$ và $DF$). Do đó, $BDEF$ là hình bình hành.
Mặt khác, góc $\angle BCD = 90^\circ$ (tính chất hình chữ nhật $ABCD$), nên hai đường chéo vuông góc với nhau: $BE \perp DF$ tại $C$.

$\Rightarrow$ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nên tứ giác $BDEF$ là hình thoi (Đpcm).

c) Chứng minh $KI = \frac{1}{6} AE$
 
Xác định vị trí điểm $K$: 
Vì $ACED$ là hình bình hành (chứng minh câu a) nên hai đường chéo $AE$ và $CD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $\Rightarrow$ $I$ là trung điểm của $CD$ và $AE$. Do đó $IE = \frac{1}{2} AE$.
Trong $\triangle BDE$, đường thẳng $DC$ là đường trung tuyến (do $C$ là trung điểm $BE$). Điểm $I$ nằm trên $DC$ và là trung điểm của $CD$. Tia $BI$ cắt $DE$ tại $K$.
Qua $C$ kẻ đường thẳng song song với $BK$, cắt $DE$ tại $H$. 
Trong $\triangle BEK$, có $C$ là trung điểm $BE$ và $CH \parallel BK \Rightarrow H$ là trung điểm của $KE \Rightarrow KH = HE$.
Trong $\triangle DCH$, có $I$ là trung điểm $CD$ và $IK \parallel CH$ (do $I, K \in BK$) $\Rightarrow K$ là trung điểm của $DH \Rightarrow DK = KH$.
Từ đó suy ra: $DK = KH = HE = \frac{1}{3} DE \Rightarrow \mathbf{KE = \frac{2}{3} DE}$.

Sử dụng định lý Thales để tính toán tỉ số: 
Kẻ đường thẳng qua $K$ song song với $CD$, cắt $BE$ tại $P$ và cắt $AE$ tại $J$.
Trong $\triangle CDE$, có $KP \parallel CD \Rightarrow \frac{PE}{CE} = \frac{KE}{DE} = \frac{2}{3} \Rightarrow PE = \frac{2}{3} CE$.
Vì $CE = \frac{1}{2} BE$ nên $PE = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} BE = \frac{1}{3} BE$.
Vì $KP \parallel CD \parallel AB \Rightarrow KP \parallel AB$. Trong $\triangle ABE$, có $JP \parallel AB \Rightarrow \frac{JE}{AE} = \frac{PE}{BE} = \frac{1}{3} \Rightarrow \mathbf{JE = \frac{1}{3} AE}$.
Đoạn thẳng $IJ$ bằng: $IJ = IE - JE = \frac{1}{2} AE - \frac{1}{3} AE = \mathbf{\frac{1}{6} AE}$.

Chứng minh $IK = IJ$: 
Trong $\triangle CDE$, có $KP \parallel CD \Rightarrow \frac{KP}{CD} = \frac{KE}{DE} = \frac{2}{3} \Rightarrow KP = \frac{2}{3} CD$.
Trong $\triangle ABE$, có $JP \parallel AB \Rightarrow \frac{JP}{AB} = \frac{JE}{AE} = \frac{1}{3} \Rightarrow JP = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} CD$ (vì $AB = CD$).
Độ dài đoạn thẳng $KJ$ là: $KJ = KP - JP = \frac{2}{3} CD - \frac{1}{3} CD = \frac{1}{3} CD$.
Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng qua $I$ song song với $BE$ và đường thẳng $KP$. Vì $I$ là trung điểm $CD$ nên khoảng cách từ $I$ đến $BE$ bằng $\frac{1}{2} CD \Rightarrow$ Khoảng cách từ $N$ đến $BE$ cũng bằng $\frac{1}{2} CD$.
Khoảng cách từ trung điểm của đoạn $KJ$ đến $BE$ bằng: $\frac{KP + JP}{2} = \frac{\frac{2}{3}CD + \frac{1}{3}CD}{2} = \frac{1}{2} CD$. Do đó, $N$ chính là trung điểm của $KJ$.
Vì $IN \parallel BE$ và $KP \perp BE$ (do $KP \parallel CD \perp BE$), suy ra $IN \perp KP$ tại $N$.
Đường thẳng $IN$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của $\triangle KIJ$, nên $\triangle KIJ$ cân tại $I \Rightarrow \mathbf{IK = IJ}$.