Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Vì p−1 chia hết cho n, nên tồn tại số nguyên dương k sao cho

p−1=kn.Suy ra

p=kn+1.(1)Mặt khác, n3−1 chia hết cho p, mà

n3−1=(n−1)(n2+n+1).Ta có p=kn+1>n−1, nên

p∤n−1.Vì p là số nguyên tố và

p∣(n−1)(n2+n+1),suy ra

p∣n2+n+1.(2)Từ (1) và (2):

kn+1∣n2+n+1.Do đó

kn+1≤n2+n+1,suy ra

k≤n+1.(3)Bây giờ, vì kn+1∣n2+n+1, nên:

kn+1∣k(n2+n+1)−n(kn+1).Rút gọn:

k(n2+n+1)−n(kn+1)=(k−1)n+k.Vậy

kn+1∣(k−1)n+k.(4)Mặt khác, k≥1, n≥2, nên

(k−1)n+k>0.Lại có

(k−1)n+k−kn−1=k−n−1.Nếu k<n+1 thì

(k−1)n+k<kn+1,mâu thuẫn với (4), vì một số dương nhỏ hơn kn+1 không thể chia hết cho kn+1.

Do đó:

k≥n+1.(5)Từ (3) và (5), ta được:

k=n+1.Suy ra từ (1):

p=n(n+1)+1=n2+n+1.Vậy

n+p=n+n2+n+1=n2+2n+1=(n+1)2.Do đó:

n+p=(n+1)2là một số chính phương. Đpcm

🔑 Phương pháp của bài
Bài này thuộc phương pháp đặt thương trong điều kiện chia hết, sau đó dùng kẹp để xác định thương.

Cụ thể, mấu chốt là đặt:

p−1=knrồi chứng minh:

k≤n+1,k≥n+1để suy ra k=n+1, từ đó mới xuất hiện:

n+p=(n+1)2.

có 1 số chỗ là mũ 2 mình k vt dc tại liệt r bặn gắng đọc nh

...Xem thêm

Answer 2