Bài giải:

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD và AB < CD. Gọi O là giao điểm của AD và BC. E là giao điểm của AC và BD.

a, cm tam giác OAB cân tại O

Vì ABCD là hình thang cân với AB // CD, nên hai cạnh bên AD và BC không song song và sẽ cắt nhau tại một điểm O. Do AB < CD, điểm O sẽ nằm trên phần kéo dài của hai cạnh bên AD và BC, sao cho A nằm giữa O và D, B nằm giữa O và C. Xét (\triangle ODC) và (\triangle OAB): Vì AB // CD, ta có các cặp góc đồng vị bằng nhau: ( \angle OAB = \angle ODC ) ( \angle OBA = \angle OCD ) Do đó, (\triangle OAB \sim \triangle ODC) (theo trường hợp đồng dạng góc-góc).

Tỉ lệ đồng dạng là: ( \frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC} = \frac{AB}{DC} )

Trong hình thang cân ABCD, hai cạnh đáy bằng nhau ( AD = BC ) (các cạnh bên bằng nhau). Xét (\triangle ADC) và (\triangle BCD):

AD = BC (hai cạnh bên của hình thang cân)
( \angle ADC = \angle BCD ) (hai góc kề một đáy của hình thang cân)
DC là cạnh chung Do đó, (\triangle ADC \cong \triangle BCD) (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh). Suy ra ( \angle DAC = \angle CBD ) (hai góc tương ứng).
Quay lại (\triangle ODC): ( \angle ODC = \angle ADC ) ( \angle OCD = \angle BCD ) Vì ( \angle ADC = \angle BCD ), suy ra ( \angle ODC = \angle OCD ). Do đó, (\triangle ODC) cân tại O, nghĩa là OD = OC.

Từ tỉ lệ đồng dạng ( \frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC} ) và vì OD = OC, ta có: ( \frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OD} ) Suy ra OA = OB. Vậy (\triangle OAB) cân tại O.

b, cm tam giác ABD = tam giác BAC

Xét (\triangle ABD) và (\triangle BAC):

AB là cạnh chung.
AD = BC (theo giả thiết, ABCD là hình thang cân).
( \angle DAB = \angle CBA ) (hai góc kề một đáy của hình thang cân). Do đó, (\triangle ABD \cong \triangle BAC) (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).
c, cm EC = ED

Ta cần chứng minh EC = ED, tức là (\triangle ECD) cân tại E. Điều này xảy ra khi ( \angle ECD = \angle EDC ). E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Từ kết quả ( \triangle ABD \cong \triangle BAC ) ở câu b, ta suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau: ( \angle ADB = \angle ACB ) ( \angle ABD = \angle BAC )

Vì AB // CD, ta có các cặp góc so le trong bằng nhau:

Với AC là cát tuyến: ( \angle BAC = \angle ACD )
Với BD là cát tuyến: ( \angle ABD = \angle BDC )
Kết hợp các kết quả đã có: Ta có ( \angle BAC = \angle ABD ) và ( \angle ABD = \angle BDC ). Suy ra ( \angle BAC = \angle BDC ). Vì ( \angle BAC = \angle ACD ), nên ta có ( \angle ACD = \angle BDC ).

Xét (\triangle ECD):

( \angle ECD ) chính là góc ( \angle ACD ).
( \angle EDC ) chính là góc ( \angle BDC ). Vì ( \angle ACD = \angle BDC ), nên (\triangle ECD) có hai góc ở đáy bằng nhau. Do đó, (\triangle ECD) cân tại E, suy ra EC = ED.

Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về các tính chất của hình thang hoặc các loại tứ giác khác, tôi có thể hỗ trợ bạn với các bài tập tương tự.