Giá trị của $x$ cho cả hai phương trình đều là $x = -1$.
Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng phương trình:
Bài 1: Giải phương trình $(x+1)^3-(x-1)^3-6x^2+2x=0$
1. Khai triển các hằng đẳng thức
Sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng và một hiệu:
$(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$
$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$
2. Rút gọn biểu thức vế trái
Thay các hằng đẳng thức vừa khai triển vào phương trình:
$(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 6x^2 + 2x = 0$
$(x^3 - x^3) + (3x^2 + 3x^2 - 6x^2) + (3x - 3x + 2x) + (1 + 1) = 0$
$2x + 2 = 0$
3. Tìm giá trị của $x$
Chuyển vế và tìm nghiệm:
$2x = -2$
$x = -1$
Bài 2: Giải phương trình $(2x-1)^3-2x(2x+1)^2=5x-20x^2$
1. Khai triển các biểu thức lũy thừa
Khai triển vế trái bằng hằng đẳng thức lập phương và bình phương:
$(2x-1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1$
$2x(2x+1)^2 = 2x(4x^2 + 4x + 1) = 8x^3 + 8x^2 + 2x$
2. Thu gọn hai vế phương trình
Thay vào phương trình ban đầu:
$(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) - (8x^3 + 8x^2 + 2x) = 5x - 20x^2$
$-20x^2 + 4x - 1 = 5x - 20x^2$
3. Triệt tiêu hạng tử đồng dạng
Cộng thêm $20x^2$ vào cả hai vế để triệt tiêu hạng tử bậc hai:
$4x - 1 = 5x$
$4x - 5x = 1$
$-x = 1$
$x = -1$
Kết luận ✅
Sau khi giải cả hai phương trình, ta tìm được tập nghiệm chung cho cả hai bài toán là $x = -1$.

Chúng ta có bài toán:

\[
(x+1)^3 - (x-1)^3 - 6x^2 + 2x = 0
\]
và
\[
(2x - 1)^3 - 2x(2x + 1)^2 = 5x - 20x^2
\]

---

### Bước 1: Giải phương trình đầu tiên

\[
(x+1)^3 - (x-1)^3 - 6x^2 + 2x = 0
\]

- Áp dụng công thức hiệu lập phương:
\[
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
\]
với \(a = x+1\), \(b = x-1\), ta có:
\[
(x+1)^3 - (x-1)^3 = ((x+1) - (x-1)) \left((x+1)^2 + (x+1)(x-1) + (x-1)^2\right)
\]

- Tính từng phần:
\[
(x+1) - (x-1) = 2
\]
\[
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
\]
\[
(x+1)(x-1) = x^2 - 1
\]
\[
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
\]

- Tổng trong ngoặc:
\[
x^2 + 2x + 1 + x^2 - 1 + x^2 - 2x + 1 = 3x^2 + 1
\]

- Vậy:
\[
(x+1)^3 - (x-1)^3 = 2(3x^2 + 1) = 6x^2 + 2
\]

- Thay vào phương trình:
\[
6x^2 + 2 - 6x^2 + 2x = 0 \implies 2 + 2x = 0
\]

- Giải:
\[
2x = -2 \implies x = -1
\]

---

### Bước 2: Kiểm tra nghiệm \(x = -1\) với phương trình thứ hai

\[
(2x - 1)^3 - 2x(2x + 1)^2 = 5x - 20x^2
\]

- Thay \(x = -1\):
\[
(2(-1) - 1)^3 - 2(-1)(2(-1) + 1)^2 = 5(-1) - 20(-1)^2
\]
\[
(-2 - 1)^3 + 2 ( -1) ( -2 + 1)^2 = -5 - 20
\]
\[
(-3)^3 + 2(-1)(-1)^2 = -25
\]
\[
-27 + 2(-1)(1) = -27 - 2 = -29
\]
\[
-29 \neq -25
\]

Vậy \(x = -1\) không thỏa mãn phương trình thứ hai.

---

### Bước 3: Giải phương trình thứ hai

\[
(2x - 1)^3 - 2x(2x + 1)^2 = 5x - 20x^2
\]

- Mở rộng từng phần:

\[
(2x - 1)^3 = (2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 - 1^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1
\]

\[
(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
\]

\[
-2x(2x + 1)^2 = -2x(4x^2 + 4x + 1) = -8x^3 - 8x^2 - 2x
\]

- Tổng vế trái:
\[
8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 - 8x^3 - 8x^2 - 2x = (-12x^2 - 8x^2) + (6x - 2x) - 1 = -20x^2 + 4x - 1
\]

- Vế phải:
\[
5x - 20x^2
\]

- Phương trình trở thành:
\[
-20x^2 + 4x - 1 = 5x - 20x^2
\]

- Cộng \(20x^2\) hai vế:
\[
4x - 1 = 5x
\]

- Chuyển vế:
\[
4x - 5x = 1 \implies -x = 1 \implies x = -1
\]

---

### Bước 4: Kết luận

- Phương trình thứ nhất cho nghiệm \(x = -1\).
- Phương trình thứ hai cũng cho nghiệm \(x = -1\).
- Tuy nhiên, khi kiểm tra lại ở bước 2, ta thấy \(x = -1\) không thỏa mãn phương trình thứ hai (do nhầm lẫn trong tính toán).

**Kiểm tra lại bước 2:**

\[
(2x - 1)^3 - 2x(2x + 1)^2 = 5x - 20x^2
\]

Thay \(x = -1\):

- \(2x - 1 = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3\)
- \((2x - 1)^3 = (-3)^3 = -27\)
- \(2x + 1 = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1\)
- \((2x + 1)^2 = (-1)^2 = 1\)
- \(-2x(2x + 1)^2 = -2(-1)(1) = 2\)
- Vế trái: \(-27 + 2 = -25\)
- Vế phải: \(5(-1) - 20(-1)^2 = -5 - 20 = -25\)

Vậy \(x = -1\) thỏa mãn phương trình thứ hai.

---

### **Kết luận cuối cùng:**

- Nghiệm chung của hệ là \(\boxed{x = -1}\).

Chào bạn, ý hỏi của bạn gồm hai phương trình tách biệt cần giải. Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng phương trình: [1]

Phương trình 1: \((x+1)^3 - (x-1)^3 - 6x^2 + 2x = 0\)
Khai triển các hằng đẳng thức:
\((x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)
\((x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\)
Thay vào phương trình ta có:
\((x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 6x^2 + 2x = 0\)
\(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 - 6x^2 + 2x = 0\)
\(2x + 2 = 0 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1\)
Vậy tập nghiệm của phương trình 1 là: \(x = -1\).

Phương trình 2: \((2x-1)^3 - 2x(2x+1)^2 = 5x - 20x^2\)
Khai triển các hằng đẳng thức và nhân đa thức:
\((2x-1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1\)
\((2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\)
Thay vào phương trình, ta có:
\((8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) - 2x(4x^2 + 4x + 1) = 5x - 20x^2\)
\(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 - 8x^3 - 8x^2 - 2x = 5x - 20x^2\)
\(-20x^2 + 4x - 1 = 5x - 20x^2\)
Cộng \(20x^{2}\) vào cả hai vế, ta được:
\(4x - 1 = 5x\)
\(4x - 5x = 1 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1\)
Vậy tập nghiệm của phương trình 2 là: \(x = -1\).

Bạn đang cần giải thêm bài tập đại số nào khác về hằng đẳng thức hay phân tích đa thức thành nhân tử không? Hãy gửi chi tiết để mình hỗ trợ bạn giải đáp nhé!