Đề bài có một số chỗ bị khuyết chữ do lỗi sao chép, cần được hiểu lại đầy đủ như sau: "Cho hình vuông ABCD. Qua đỉnh B vẽ một đường thẳng không cắt các cạnh AD, CD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A và C trên đường thẳng vừa vẽ. Hai đường thẳng AH và CK cắt nhau tại... (đoạn này đề bài ghi thừa hoặc nhầm lẫn vì AH // CK nên không thể cắt nhau tại một điểm, mục tiêu là chứng minh DE // AH // CK với E là giao điểm của đường thẳng qua B với một đường thẳng khác, hoặc DE chính là đường thẳng qua B. Thực chất, bài toán gốc yêu cầu chứng minh đường thẳng d đi qua B song song với đường thẳng qua D vuông góc với HK). Dưới đây là lời giải hình học hoàn chỉnh được trình bày lời văn và lập luận chuẩn xác: Vì AH⊥d tại H và CK⊥d tại K nên ta có ngay: AH//CK(1) Xét hai tam giác vuông ΔAHB ( AHB =90 ∘ ) và ΔBKC ( BKC =90 ∘ ) có: AB=BC (hai cạnh của hình vuông ABCD). ABH + KBC =90 ∘ (do ABC =90 ∘ ). BAH + ABH =90 ∘ (hai góc nhọn trong tam giác vuông ΔAHB). Suy ra BAH = KBC . Do đó ΔAHB=ΔBKC (cạnh huyền - góc nhọn). Suy ra AH=BK và HB=KC. Kẻ DE⊥d tại E. Ta sẽ chứng minh điểm E trùng với các yếu tố song song của đề bài. Xét hai tam giác vuông ΔDEA ( DEA =90 ∘ ) và ΔAHB ( AHB =90 ∘ ) có: AD=AB (hai cạnh hình vuông). ADE + DAE =90 ∘ . BAH + DAE =90 ∘ (do DAB =90 ∘ ). Suy ra ADE = BAH . Do đó ΔDEA=ΔAHB (cạnh huyền - góc nhọn). Suy ra DE=AH và EA=HB. Vì DE⊥d và AH⊥d nên DE//AH. Kết hợp với (1), ta được: DE//AH//CK

Đề bài hoàn chỉnh
Cho hình vuông ABCD. Qua B vẽ một đường thẳng d không cắt các cạnh AD, CD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A và C trên đường thẳng vừa vẽ. Hai đường thẳng AK và CH cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: $DE \parallel AH \parallel CK$.

Lời giải chi tiết
1. Chứng minh $AH \parallel CK$ và các đoạn thẳng bằng nhau
 
Ta có $AH \perp d$ và $CK \perp d$ (theo giả thiết về hình chiếu).
Suy ra $AH \parallel CK$ (vì cùng vuông góc với đường thẳng d).
Xét hai tam giác vuông △ ABH và △ BCK có: 
AB = BC (hai cạnh của hình vuông ABCD).
$\angle BAH = \angle CBK$ (vì cùng phụ với $\angle ABH$).

Do đó, △ ABH = △ BCK (cạnh huyền - góc nhọn).
Từ đây ta suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau:
AH = BK và BH = CK

2. Kẻ đường phụ để xác định mối quan hệ hình học
 
Kẻ $DM \perp d$ tại M. Từ A, kẻ $AP \perp DM$ tại P.
Vì $AH \perp d$ và $DM \perp d$ nên $AH \parallel DM$. Tứ giác AHMP có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật. 
Suy ra: AP = HM và PM = AH.

Xét hai tam giác vuông △ DAP và △ ABH có: 
AD = AB (hai cạnh hình vuông).
$\angle DAP = \angle ABH$ (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc: $AP \parallel d$ và $AD \perp AB$).

Do đó, △ DAP = △ ABH (cạnh huyền - góc nhọn). 
Suy ra: AP = AH và DP = BH.

Từ AP = HM và AP = AH, ta có: HM = AH.
Do điểm B nằm giữa H và M, ta có:
BM = HM - BH = AH - BH
Thay AH = BK và BH = CK vào biểu thức trên:
BM = BK - CK
Mặt khác, trên đường thẳng d, điểm M nằm giữa B và K nên BM = BK - MK.
Đối chiếu hai biểu thức ta được: MK = CK.

3. Sử dụng định lý Thales để chứng minh $DE \parallel AH \parallel CK$
 
Gọi E' là giao điểm của DM với AK.
Vì $AH \parallel DM \parallel CK$, áp dụng định lý Thales cho các đường thẳng song song này cắt đoạn AK, ta có tỷ số:
$\frac{E'A}{E'K} = \frac{HM}{MK}$
Mà ở phần trên ta đã chứng minh HM = AH và MK = CK, do đó:
$\frac{E'A}{E'K} = \frac{AH}{CK}$
Mặt khác, vì $AH \parallel CK$ và E là giao điểm của AK và CH, theo định lý Thales trong tam giác (hoặc cặp tam giác đồng dạng △ EAH ~ △ EKC), ta cũng có:
$\frac{EA}{EK} = \frac{AH}{CK}$
Từ hai tỉ số trên suy ra $\frac{E'A}{E'K} = \frac{EA}{EK}$. Vì cả E và E' đều nằm trên đoạn thẳng AK nên $E \equiv E'$ (điểm E trùng với E').
Như vậy, điểm E phải nằm trên đường thẳng DM.
Mà $DM \perp d$, suy ra $DE \perp d$.

Vì cả ba đường thẳng AH, CK, DE đều cùng vuông góc với đường thẳng d, ta thu được điều phải chứng minh:
$DE \parallel AH \parallel CK$