Lời giải chi tiết các biểu thức từ $A_1$ đến $A_8$
1. Rút gọn biểu thức $A_1$
$A_1 = \frac{4^5 \cdot 9^4}{2^7 \cdot 3^8}$
 
Bước 1: Đưa các cơ số về lũy thừa của số nguyên tố: 
$4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$
$9^4 = (3^2)^4 = 3^8$

Bước 2: Thay vào biểu thức và rút gọn: 
$A_1 = \frac{2^{10} \cdot 3^8}{2^7 \cdot 3^8} = \frac{2^{10}}{2^7} = 2^{10-7} = 2^3 = 8$

Kết quả: $A_1 = 8$

2. Rút gọn biểu thức $A_2$
$A_2 = \frac{2^{15} \cdot 9^4}{6^6 \cdot 8^3}$
 
Bước 1: Phân tích tử số và mẫu số: 
Tử số: $2^{15} \cdot 9^4 = 2^{15} \cdot (3^2)^4 = 2^{15} \cdot 3^8$
Mẫu số: $6^6 \cdot 8^3 = (2 \cdot 3)^6 \cdot (2^3)^3 = 2^6 \cdot 3^6 \cdot 2^9 = 2^{15} \cdot 3^6$

Bước 2: Thực hiện tính toán rút gọn: 
$A_2 = \frac{2^{15} \cdot 3^8}{2^{15} \cdot 3^6} = \frac{3^8}{3^6} = 3^{8-6} = 3^2 = 9$

Kết quả: $A_2 = 9$

3. Rút gọn biểu thức $A_3$
$A_3 = \frac{10^3 \cdot 25^2}{5^7 \cdot 4^2}$
 
Bước 1: Phân tích các cơ số: 
Tử số: $10^3 \cdot 25^2 = (2 \cdot 5)^3 \cdot (5^2)^2 = 2^3 \cdot 5^3 \cdot 5^4 = 2^3 \cdot 5^7$
Mẫu số: $5^7 \cdot 4^2 = 5^7 \cdot (2^2)^2 = 5^7 \cdot 2^4$

Bước 2: Rút gọn biểu thức: 
$A_3 = \frac{2^3 \cdot 5^7}{5^7 \cdot 2^4} = \frac{2^3}{2^4} = \frac{1}{2}$

Kết quả: $A_3 = \frac{1}{2}$

4. Rút gọn biểu thức $A_4$
$A_4 = \frac{15^3 \cdot 9^2}{25^2 \cdot 27}$
 
Bước 1: Đưa các số về lũy thừa cơ số nguyên tố: 
Tử số: $15^3 \cdot 9^2 = (3 \cdot 5)^3 \cdot (3^2)^2 = 3^3 \cdot 5^3 \cdot 3^4 = 3^7 \cdot 5^3$
Mẫu số: $25^2 \cdot 27 = (5^2)^2 \cdot 3^3 = 5^4 \cdot 3^3$

Bước 2: Rút gọn tử và mẫu: 
$A_4 = \frac{3^7 \cdot 5^3}{3^3 \cdot 5^4} = \frac{3^{7-3}}{5^{4-3}} = \frac{3^4}{5^1} = \frac{81}{5}$

Kết quả: $A_4 = \frac{81}{5}$

5. Rút gọn biểu thức $A_5$
$A_5 = \frac{21^2 \cdot 14 \cdot 125}{35^3 \cdot 6}$
 
Bước 1: Phân tích cấu trúc tử và mẫu: 
Tử số: $(3 \cdot 7)^2 \cdot (2 \cdot 7) \cdot 5^3 = 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 5^3 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^3$
Mẫu số: $(5 \cdot 7)^3 \cdot (2 \cdot 3) = 5^3 \cdot 7^3 \cdot 2 \cdot 3 = 2 \cdot 3 \cdot 5^3 \cdot 7^3$

Bước 2: Rút gọn các thừa số chung: 
Triệt tiêu $2$, $5^3$, $7^3$ ở cả tử và mẫu:
$A_5 = \frac{3^2}{3} = 3$

Kết quả: $A_5 = 3$

6. Rút gọn biểu thức $A_6$
$A_6 = \frac{2^{10} \cdot 13 + 2^{10} \cdot 65}{2^8 \cdot 104}$
 
Bước 1: Đặt nhân tử chung ở tử số: 
Tử số: $2^{10} \cdot (13 + 65) = 2^{10} \cdot 78$

Bước 2: Phân tích các số còn lại thành thừa số nguyên tố: 
Ta có: $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$ và $104 = 2^3 \cdot 13$
Tử số trở thành: $2^{10} \cdot (2 \cdot 3 \cdot 13) = 2^{11} \cdot 3 \cdot 13$
Mẫu số trở thành: $2^8 \cdot (2^3 \cdot 13) = 2^{11} \cdot 13$

Bước 3: Rút gọn: 
$A_6 = \frac{2^{11} \cdot 3 \cdot 13}{2^{11} \cdot 13} = 3$

Kết quả: $A_6 = 3$

7. Rút gọn biểu thức $A_7$
$A_7 = \frac{3^{11} \cdot 11 + 3^{11} \cdot 21}{3^9 \cdot 2^5}$
 
Bước 1: Đặt nhân tử chung ở tử số: 
Tử số: $3^{11} \cdot (11 + 21) = 3^{11} \cdot 32$

Bước 2: Biến đổi số $32 = 2^5$: 
Tử số trở thành: $3^{11} \cdot 2^5$

Bước 3: Thay vào biểu thức và rút gọn: 
$A_7 = \frac{3^{11} \cdot 2^5}{3^9 \cdot 2^5} = \frac{3^{11}}{3^9} = 3^{11-9} = 3^2 = 9$

Kết quả: $A_7 = 9$

8. Rút gọn biểu thức $A_8$
$A_8 = \frac{4^6 \cdot 9^5 + 6^9 \cdot 2}{8^4 \cdot 3^{12}}$
 
Bước 1: Biến đổi các số hạng về cơ số $2$ và $3$: 
Số hạng thứ nhất ở tử: $4^6 \cdot 9^5 = (2^2)^6 \cdot (3^2)^5 = 2^{12} \cdot 3^{10}$
Số hạng thứ hai ở tử: $6^9 \cdot 2 = (2 \cdot 3)^9 \cdot 2 = 2^9 \cdot 3^9 \cdot 2 = 2^{10} \cdot 3^9$
Mẫu số: $8^4 \cdot 3^{12} = (2^3)^4 \cdot 3^{12} = 2^{12} \cdot 3^{12}$

Bước 2: Đặt nhân tử chung lớn nhất ở tử số: 
Tử số: $2^{10} \cdot 3^9 \cdot (2^2 \cdot 3 + 1) = 2^{10} \cdot 3^9 \cdot (12 + 1) = 2^{10} \cdot 3^9 \cdot 13$

Bước 3: Thực hiện rút gọn biểu thức: 
$A_8 = \frac{2^{10} \cdot 3^9 \cdot 13}{2^{12} \cdot 3^{12}} = \frac{13}{2^{12-10} \cdot 3^{12-9}} = \frac{13}{2^2 \cdot 3^3} = \frac{13}{4 \cdot 27} = \frac{13}{108}$

Kết quả: $A_8 = \frac{13}{108}$