Đáp án đúng là: D

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

x + m – 1 = \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)

⇔ x² + (m – 2)x + m – 2 = 0. (1)

Để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, do đó ∆ = (m – 2)² – 4(m – 2) > 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.\).

Khi đó, đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A(x₁; x₁ + m – 1) và

B(x₂; x₂ + m – 1) với x₁, x₂ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).

Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2--m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).

Ta có: AB = \(2\sqrt 3 \).

⇔ \(\sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left[ {\left( {{x_1} + m - 1} \right) - \left( {{x_2} + m - 1} \right)} \right]}^2}} = 2\sqrt 3 \)

⇔ (x₁ – x₂)² + [(x₁ + m – 1) – (x₂ + m – 1)]² = 12

⇔ 2(x₁ – x₂)² = 12

⇔ (x₁ – x₂)² = 6

⇔ (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 6

⇔ (2 – m)² – 4(m – 2) = 6

⇔ m² – 8m + 6 = 0

⇔ m = 4 ± \(\sqrt {10} \) (thỏa mãn).