Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có

A=x²+2y²+3z²−2xy+2xz−2x−2y−8z+2010.

Ta biến đổi thành tổng các bình phương.

Nhóm các hạng tử theo x,y:

x²−2xy+2y²=(x−y)²+y².

Do đó

A=(x−y)²+y²+3z²+2xz−2x−2y−8z+2010.

Tiếp theo,

2xz−2x=2x(z−1).

Ta nhận thấy

(x−y+z−1)²=(x−y)²+(z−1)²+2(x−y)(z−1).

Cách này khá dài, nên ta dùng phương pháp đạo hàm (hoặc hoàn thành bình phương theo hệ phương trình).

Ta tìm điểm cực tiểu bằng cách giải hệ:

$\{\begin{cases} 2 x - 2 y + 2 z - 2 = 0, \\ 4 y - 2 x - 2 = 0, \\ 6 z + 2 x - 8 = 0 . \end{cases} R ú t g ọ n : \{\begin{cases} x - y + z = 1, \\ 2 y - x = 1, \\ x + 3 z = 4 \end{cases} G i ả i h ệ : T ừ 2 y - x = 1 s u y r a x = 2 y - 1 . T h ế v à o p h ư ơ n g t r ì n h đ ầ u : 2 y - 1 - y + z = 1 y + z = 2 . T h ế v à o p h ư ơ n g t r ì n h b a : 2 y - 1 + 3 z = 4 2 y + 3 z = 5 . L ấ y 2 (y + z) = 4 t r ừ đ i : z = 1 . S u y r a y = 1, x = 1 . V ậ y đ i ể m đ ạ t c ự c t i ể u l à (x, y, z) = (1, 1, 1) . G i á t r ị n h ỏ n h ấ t : A_{m i n} = 1 + 2 + 3 - 2 + 2 - 2 - 2 - 8 + 2010 = 2004 . K ế t l u ậ n A_{m i n} = 2004 đ ạ t đ ư ợ c k h i x = y = z = 1 . $

...Xem thêm

Answer 2

Ta có

A=x²+2y²+3z²−2xy+2xz−2x−2y−8z+2010.

Ta biến đổi thành tổng các bình phương.

Nhóm các hạng tử theo x,y:

x²−2xy+2y²=(x−y)²+y².

Do đó

A=(x−y)²+y²+3z²+2xz−2x−2y−8z+2010.

Tiếp theo,

2xz−2x=2x(z−1).

Ta nhận thấy

(x−y+z−1)²=(x−y)²+(z−1)²+2(x−y)(z−1).

Cách này khá dài, nên ta dùng phương pháp đạo hàm (hoặc hoàn thành bình phương theo hệ phương trình).

Ta tìm điểm cực tiểu bằng cách giải hệ:

$\{\begin{cases} 2 x - 2 y + 2 z - 2 = 0, \\ 4 y - 2 x - 2 = 0, \\ 6 z + 2 x - 8 = 0 . \end{cases} R ú t g ọ n : \{\begin{cases} x - y + z = 1, \\ 2 y - x = 1, \\ x + 3 z = 4 \end{cases} G i ả i h ệ : T ừ 2 y - x = 1 s u y r a x = 2 y - 1 . T h ế v à o p h ư ơ n g t r ì n h đ ầ u : 2 y - 1 - y + z = 1 y + z = 2 . T h ế v à o p h ư ơ n g t r ì n h b a : 2 y - 1 + 3 z = 4 2 y + 3 z = 5 . L ấ y 2 (y + z) = 4 t r ừ đ i : z = 1 . S u y r a y = 1, x = 1 . V ậ y đ i ể m đ ạ t c ự c t i ể u l à (x, y, z) = (1, 1, 1) . G i á t r ị n h ỏ n h ấ t : A_{m i n} = 1 + 2 + 3 - 2 + 2 - 2 - 2 - 8 + 2010 = 2004 . K ế t l u ậ n A_{m i n} = 2004 đ ạ t đ ư ợ c k h i x = y = z = 1 . $

Answer 3

$A=x^2+2y^2+3z^2-2xy+2xz-2x-2y-8z+2010$

$=(x-y)^2+y^2+3z^2+2xz-2x-2y-8z+2010$

$=(x-y)^2+(y-1)^2-1+3z^2+2z(x-4)-2x+2010$

$=(x-y)^2+(y-1)^2+3\left(z+\dfrac{x-4}{3}\right)^2-\dfrac{(x-4)^2}{3}-2x+2009$

$=(x-y)^2+(y-1)^2+3\left(z+\dfrac{x-4}{3}\right)^2+\dfrac{2x^2-4x+6023}{3}$

$=\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+3\left(z+\dfrac{x-4}{3}\right)^2+\dfrac{2(x-1)^2+6021}{3}$

$\ge\dfrac{6021}{3}$

$\min A=2007$

Dấu ``='' khi

$x-y=0$

$y-1=0$

$z+\dfrac{x-4}{3}=0$

$\Rightarrow x=y=1,\ z=1$

2 câu trả lời 47

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8