Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích về mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.
Quảng cáo
2 câu trả lời 37
Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là r. Suy ra, chiều cao của thùng hình trụ là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}}\).
Diện tích bề mặt của thùng hình trụ là S = 2πr2 + \(\frac{{2\pi rV}}{{\pi {r^2}}}\) = 2πr2 + \(\frac{{2V}}{r}\), r > 0.
Ta có: S' = 2πr2 – \(\frac{{2V}}{{{r^2}}}\) = \(\frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\)
S' = 0 ⇔ r = \(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\).
Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên: S đạt giá trị nhỏ nhất khi r = \(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\), khi đó chiều cao của hình trụ là
2.\(\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\) = 2r.
Đây là điều cần chứng minh.
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Đã trả lời bởi chuyên gia
106167 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
95628 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
73900

