Theo đề, ta có: x (cm) là chiều rộng tờ giấy.

Gọi y (cm) là chiều dài tờ giấy.

Theo giả thiết, ta có: chiều rộng vùng in là: x – 2.2 = x – 4 (cm).

                                  Chiều dài cùng in là: y – 3.2 = y – 6 (cm).

Diện tích vùng in là: (x – 4)(y – 6) = 300.

Suy ra y = \(6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = \frac{{6x + 276}}{{x - 4}}\).

a) Diện tích của tờ giấy được thiết kế là:

S(x) = xy = \(\frac{{x\left( {6x + 276} \right)}}{{x - 4}}\).

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(x):

1. Tập xác định: D = (4; +∞).

2. Sự biến thiên

Giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} S(x) = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = + \infty \)

Ta có: S(x) = 6x + 300 + \(\frac{{1200}}{{x - 4}}\).

S'(x) = \(\frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}\) .

S'(x) = 0 ⇔ x₀ = x = 4 + 10\(\sqrt 2 \).

Ta có bảng biến thiên như sau:

c) Kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là khi chiều rộng x = 4 + 10\(\sqrt 2 \).

Khi đó chiều dài y = 6 + \(\frac{{300}}{{x - 4}}\) = 6 + \(\frac{{300}}{{4 + 10\sqrt 2 - 4}}\) = 6 + \(15\sqrt 2 \).

Vậy kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là chiều rộng bằng 4 + 10\(\sqrt 2 \) cm, chiều dài bằng 6 + \(15\sqrt 2 \) cm.