Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đề bài: Tìm số nguyên $ n $ sao cho số $ n^{2030} + n^{2029} + 1 $ là số nguyên tố.

---

Phân tích và giải:

- Biểu thức cần xét là:
\[
n^{2030} + n^{2029} + 1
\]

- Ta cần tìm $ n $ nguyên để biểu thức trên là số nguyên tố.

---

Bước 1: Xét các giá trị nhỏ của $ n $
- Với $ n = 0 $:
\[
0^{2030} + 0^{2029} + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
\]
Số 1 không phải là số nguyên tố.

- Với $ n = 1 $:
\[
1^{2030} + 1^{2029} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
\]
Số 3 là số nguyên tố.

- Với $ n = -1 $:
\[
(-1)^{2030} + (-1)^{2029} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
\]
Không phải số nguyên tố.

---

Bước 2: Xét tính chia hết hoặc phân tích đa thức

Ta thử phân tích biểu thức:

\[
n^{2030} + n^{2029} + 1 = n^{2029}(n + 1) + 1
\]

Không dễ phân tích thành tích các đa thức bậc thấp hơn.

---

Bước 3: Xét tính chia hết khi $ n \neq 1 $

- Nếu $ n \neq 1 $, ta thử xem biểu thức có thể chia hết cho một số nào không.

- Thử với $ n = 2 $:
\[
2^{2030} + 2^{2029} + 1 = 2^{2029}(2 + 1) + 1 = 2^{2029} \times 3 + 1
\]
Đây là số rất lớn, khó kiểm tra trực tiếp, nhưng ta có thể thử kiểm tra tính chia hết cho 3:

- $ 2^{2029} \equiv 2^{(2029 \mod 2)} \equiv 2^{1} = 2 \pmod{3} $ (vì $ 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3} $)

- Vậy:
\[
2^{2029} \times 3 + 1 \equiv 2 \times 0 + 1 = 1 \pmod{3}
\]
Không chia hết cho 3.

- Thử với $ n = -2 $:
\[
(-2)^{2030} + (-2)^{2029} + 1 = (-2)^{2029}(-2 + 1) + 1 = (-2)^{2029} \times (-1) + 1 = -(-2)^{2029} + 1
\]
Số này cũng rất lớn, khó kiểm tra trực tiếp.

---

Bước 4: Xét trường hợp tổng quát

- Với $ n \neq 1 $, ta thử xem biểu thức có thể phân tích thành tích các đa thức không.

- Thử đặt $ x = n $, ta có:
\[
x^{2030} + x^{2029} + 1
\]

- Ta thử xem biểu thức có thể phân tích theo dạng:
\[
(x^k + a)(x^m + b)
\]
nhưng do bậc rất lớn và không có hệ số nào khác ngoài 1, rất khó phân tích.

---

Bước 5: Kiểm tra tính nguyên tố với $ n = 1 $

- Với $ n = 1 $, biểu thức bằng 3, là số nguyên tố.

- Với $ n = 0 $ hoặc $ n = -1 $, không phải số nguyên tố.

- Với $ n = 2 $, số rất lớn, khả năng là hợp số cao.

---

Kết luận:

- Chỉ có $ n = 1 $ cho biểu thức là số nguyên tố (bằng 3).

---

Đáp án cuối cùng:

\[
\boxed{n = 1}
\]

là giá trị duy nhất để $ n^{2030} + n^{2029} + 1 $ là số nguyên tố.

...Xem thêm

Answer 2

Đề bài: Tìm số nguyên $ n $ sao cho số $ n^{2030} + n^{2029} + 1 $ là số nguyên tố.

---

Phân tích và giải:

- Biểu thức cần xét là:
\[
n^{2030} + n^{2029} + 1
\]

- Ta cần tìm $ n $ nguyên để biểu thức trên là số nguyên tố.

---

Bước 1: Xét các giá trị nhỏ của $ n $
- Với $ n = 0 $:
\[
0^{2030} + 0^{2029} + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
\]
Số 1 không phải là số nguyên tố.

- Với $ n = 1 $:
\[
1^{2030} + 1^{2029} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
\]
Số 3 là số nguyên tố.

- Với $ n = -1 $:
\[
(-1)^{2030} + (-1)^{2029} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
\]
Không phải số nguyên tố.

---

Bước 2: Xét tính chia hết hoặc phân tích đa thức

Ta thử phân tích biểu thức:

\[
n^{2030} + n^{2029} + 1 = n^{2029}(n + 1) + 1
\]

Không dễ phân tích thành tích các đa thức bậc thấp hơn.

---

Bước 3: Xét tính chia hết khi $ n \neq 1 $

- Nếu $ n \neq 1 $, ta thử xem biểu thức có thể chia hết cho một số nào không.

- Thử với $ n = 2 $:
\[
2^{2030} + 2^{2029} + 1 = 2^{2029}(2 + 1) + 1 = 2^{2029} \times 3 + 1
\]
Đây là số rất lớn, khó kiểm tra trực tiếp, nhưng ta có thể thử kiểm tra tính chia hết cho 3:

- $ 2^{2029} \equiv 2^{(2029 \mod 2)} \equiv 2^{1} = 2 \pmod{3} $ (vì $ 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3} $)

- Vậy:
\[
2^{2029} \times 3 + 1 \equiv 2 \times 0 + 1 = 1 \pmod{3}
\]
Không chia hết cho 3.

- Thử với $ n = -2 $:
\[
(-2)^{2030} + (-2)^{2029} + 1 = (-2)^{2029}(-2 + 1) + 1 = (-2)^{2029} \times (-1) + 1 = -(-2)^{2029} + 1
\]
Số này cũng rất lớn, khó kiểm tra trực tiếp.

---

Bước 4: Xét trường hợp tổng quát

- Với $ n \neq 1 $, ta thử xem biểu thức có thể phân tích thành tích các đa thức không.

- Thử đặt $ x = n $, ta có:
\[
x^{2030} + x^{2029} + 1
\]

- Ta thử xem biểu thức có thể phân tích theo dạng:
\[
(x^k + a)(x^m + b)
\]
nhưng do bậc rất lớn và không có hệ số nào khác ngoài 1, rất khó phân tích.

---

Bước 5: Kiểm tra tính nguyên tố với $ n = 1 $

- Với $ n = 1 $, biểu thức bằng 3, là số nguyên tố.

- Với $ n = 0 $ hoặc $ n = -1 $, không phải số nguyên tố.

- Với $ n = 2 $, số rất lớn, khả năng là hợp số cao.

---

Kết luận:

- Chỉ có $ n = 1 $ cho biểu thức là số nguyên tố (bằng 3).

---

Đáp án cuối cùng:

\[
\boxed{n = 1}
\]

là giá trị duy nhất để $ n^{2030} + n^{2029} + 1 $ là số nguyên tố.

Answer 3

$n^{2030}+n^{2029}+1=n^{2029}(n+1)+1$

$n=1\Rightarrow 1^{2030}+1^{2029}+1=3$ (nguyên tố)

$n\ge2$

$n$ chẵn $\Rightarrow n^{2029}(n+1)$ chẵn $\Rightarrow n^{2030}+n^{2029}+1$ lẻ

$n=2\Rightarrow 2^{2030}+2^{2029}+1=3\cdot2^{2029}+1>3,\equiv1\pmod3$

$n$ lẻ $\Rightarrow n+1$ chẵn $\Rightarrow n^{2029}(n+1)$ chẵn $\Rightarrow n^{2030}+n^{2029}+1$ lẻ$

$n\equiv1\pmod3,\ n>1\Rightarrow n^{2030}+n^{2029}+1\equiv1+1+1\equiv0\pmod3$

$\Rightarrow n^{2030}+n^{2029}+1>3$ nên hợp số

$\boxed{n=1}$

Answer 4

bài này n = 1 nha bạn
ta có A = n^2030 + n^2029 + 1
nhận xét số mũ tí: 2030 chia 3 dư 2, còn 2029 chia 3 dư 1
giờ mình tách ra để gom nhân tử chung (n^2 + n + 1) nha:
A = (n^2030 - n^2) + (n^2029 - n) + (n^2 + n + 1)
A = n^2 . (n^2028 - 1) + n . (n^2028 - 1) + (n^2 + n + 1)
vì cái mũ 2028 chia hết cho 3 nên (n^2028 - 1) chắc chắn chia hết cho (n^3 - 1)
mà hằng đẳng thức n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1) nên nó chia hết cho (n^2 + n + 1) luôn
tóm lại là cả cái cụm A luôn chia hết cho (n^2 + n + 1) với mọi n thuộc N*
để A là số nguyên tố thì cái cụm nhân tử còn lại sau khi chia phải bằng 1 (vì số nguyên tố chỉ chia hết cho 1 và chính nó)
mà n thuộc N* nên n nhỏ nhất bằng 1, suy ra n^2 + n + 1 nhỏ nhất là bằng 1 + 1 + 1 = 3 rồi
thành ra muốn nhân tử kia bằng 1 thì chỉ có nước n = 1 thôi
thử lại: n = 1 thì A = 1 + 1 + 1 = 3 (3 là số nguyên tố, chuẩn luôn)
còn n > 1 thì A dính nhân tử lớn hơn 1 nên thành hợp số mất rồi
vậy n = 1

3 câu trả lời 65

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8