Ta có:

E là trung điểm của ABB.
F là trung điểm của AC.
G là trung điểm của BC.
Qua E kẻ EI∥BF, cắt GF tại I.

a) Chứng minh tứ giác AEGF là hình gì?
Trong tam giác ABC:

E là trung điểm của AB,
G là trung điểm của BC.
Theo định lý đường trung bình:

EG∥AC.

Mà AF⊂AC, nên

EG∥AF.

Tương tự:

E là trung điểm của AB,
F là trung điểm của AC.
Suy ra

EF∥BC.

Mà AG⊂BC, nên

EF∥AG.

Vậy tứ giác AEGF có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Do tam giác ABC vuông tại A,

AB⊥AC.

Mà

AE∥AB,  AF∥AC,

nên

AE⊥AF.

Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Suy ra

AEGF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác BEIF là hình bình hành
Trong tam giác ABC:

FG∥AB.

Vì I∈FG,

FI∥AB.
Mà BE⊂AB,

BE∥FI.

Theo giả thiết,

EI∥BF.

Vậy tứ giác BEIF có hai cặp cạnh đối song song.

Suy ra

BEIF là hình bình hành.
c) Chứng minh tứ giác AGCI là hình thoi
Từ câu b:

Hình bình hành BEIF nên

FI=BE.

Mà

BE= $\frac{AB}{2}$

Trong tam giác ABC,

FG=$\frac{AB}{2}$

Do đó

FI=FG.

Lại có F,G,I thẳng hàng nên

F là trung điểm của GI.

Mà F cũng là trung điểm của AC.

Vậy hai đường chéo AC và GI cắt nhau tại trung điểm.

Suy ra

AGCI là hình bình hành.

Lại có

$AG=\frac{BC}{2}, GC=\frac{BC}{2}$

Hai cạnh kề của hình bình hành bằng nhau.

Suy ra

AGCI là hình thoi.
d) Điều kiện để AGCI là hình vuông
Ta đã có AGCI là hình thoi.

Hình thoi là hình vuông khi có một góc vuông.

Trong hình bình hành AGCI:

AG∥BC,
GC∥AB.
Do đó

∠AGC=∠CBA.

Muốn hình thoi là hình vuông thì

∠AGC=90^∘.

Điều này không thể xảy ra trong tam giác.

Ta xét theo đường chéo.

Hai đường chéo của hình vuông bằng nhau.

Ở đây

AC là một đường chéo,
GI là đường chéo kia.
Ta có

GI=2GF=AB.

Do

GF= $\frac{AB}{2}$

Vì thế cần

AC=GI=AB.

Suy ra

AB=AC.

Tức là tam giác ABC vuông cân tại A.

Kết luận
a)

AEGF là hình chữ nhật.

b)

BEIF là hình bình hành.

c)

AGCI là hình thoi.

​d)

AGCI là hình vuông khi và chỉ khi AB=AC,hay tam giác ABC vuông cân tại A.