Đáp án chính xác là C. \(\frac{1}{2} a^2\).

1. Xác định tính chất hình học
Vì \(ABCD\) là tứ diện đều có cạnh bằng \(a\), tất cả các mặt của tứ diện đều là các tam giác đều có cạnh bằng \(a\).
Do đó, tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Từ đây, ta suy ra: 
Độ dài cạnh \(AB = a\).
Độ dài cạnh \(AC = a\).
Góc giữa hai vectơ \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\) chính là góc \(\widehat{BAC} = 60^\circ\).

2. Tính tích vô hướng
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ:
\(\vec{AB}\cdot \vec{AC}=|\vec{AB}|\cdot |\vec{AC}|\cdot \cos (\vec{AB},\vec{AC})\)
Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\(\vec{AB}\cdot \vec{AC}=a\cdot a\cdot \cos (60^{\circ })=a^{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}a^{2}\)

Phân tích các tùy chọn:
🟢 C. \(\frac{1}{2} a^2\): Đúng, vì kết quả tính toán dựa trên định nghĩa tích vô hướng cho ra giá trị \(\frac{1}{2}a^2\).
🔴 A. \(a^{2}\): Sai, đây là kết quả nếu góc giữa hai vectơ bằng \(0^{\circ }\) (\(\cos 0^\circ = 1\)).
🔴 B. \(-a^{2}\): Sai, đây là kết quả nếu hai vectơ ngược hướng, góc bằng \(180^{\circ }\) (\(\cos 180^\circ = -1\)).
🔴 D. \(\frac{\sqrt{3}}{2} a^2\): Sai, đây là kết quả nếu góc giữa hai vectơ bằng \(30^{\circ }\) (\(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)).

✅ Kết luận
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) trong tứ diện đều cạnh \(a\) có giá trị bằng \(\frac{1}{2} a^2\).