Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta cần chứng minh

B=n³(n²−7)²−36n

chia hết cho 105 với mọi số nguyên nnn.

Vì

105=3⋅5⋅7,

mà 3,5,7 đôi một nguyên tố cùng nhau, nên chỉ cần chứng minh B chia hết cho 3, 5 và 7.

1. Chứng minh B chia hết cho 3
Ta có

36n≡0(mod3).

Mặt khác,

Nếu 3∣n thì n³(n²−7)²≡0(mod3).
Nếu 3∤n thì
n²≡1(mod3),

suy ra

n²−7≡1−1≡0(mod3).

Do đó

(n²−7)²≡0(mod3).

Vậy trong mọi trường hợp,

n³(n²−7)²≡0(mod3).

Suy ra

B≡0(mod3).
2. Chứng minh B chia hết cho 5
Ta có

36≡1(mod5),

nên

B≡n³(n²−7)²−n(mod5).

Xét các trường hợp theo n(mod5):

Nếu 5∣n thì hiển nhiên B≡0(mod5).
Nếu 5∤n5 thì theo định lý Fermat nhỏ,
n⁴≡1(mod5).

Lại có

n²−7≡n²−2(mod5).

Ta xét hai khả năng:

n²≡1(mod5)thì
(n²−2)²=(−1)²=1.

n²≡4(mod5) thì
(n²−2)²=2²=4.

Trong cả hai trường hợp,

(n²−2)²≡n⁴(mod5).

Do đó

n³(n²−7)²≡n³⋅n⁴=n⁷≡n³⋅n⁴≡n(mod5),

vì n⁴≡1.

Suy ra

B≡n−n≡0(mod5).
3. Chứng minh BBB chia hết cho 7
Ta có

36≡1(mod7),

nên

B≡n³(n²)²−n=n⁷−n(mod7).

Theo định lý Fermat nhỏ,

n⁷≡n(mod7).

Suy ra

B≡0(mod7).
Kết luận
Ta đã chứng minh

3∣B, 5∣B, 7∣B.

Vì 3,5,7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên

3⋅5⋅7=105∣B.

Do đó

n³(n²−7)²−36n chia hết cho 105 với mọi n∈Z.

...Xem thêm

Answer 2

Ta cần chứng minh

B=n³(n²−7)²−36n

chia hết cho 105 với mọi số nguyên nnn.

Vì

105=3⋅5⋅7,

mà 3,5,7 đôi một nguyên tố cùng nhau, nên chỉ cần chứng minh B chia hết cho 3, 5 và 7.

1. Chứng minh B chia hết cho 3
Ta có

36n≡0(mod3).

Mặt khác,

Nếu 3∣n thì n³(n²−7)²≡0(mod3).
Nếu 3∤n thì
n²≡1(mod3),

suy ra

n²−7≡1−1≡0(mod3).

Do đó

(n²−7)²≡0(mod3).

Vậy trong mọi trường hợp,

n³(n²−7)²≡0(mod3).

Suy ra

B≡0(mod3).
2. Chứng minh B chia hết cho 5
Ta có

36≡1(mod5),

nên

B≡n³(n²−7)²−n(mod5).

Xét các trường hợp theo n(mod5):

Nếu 5∣n thì hiển nhiên B≡0(mod5).
Nếu 5∤n5 thì theo định lý Fermat nhỏ,
n⁴≡1(mod5).

Lại có

n²−7≡n²−2(mod5).

Ta xét hai khả năng:

n²≡1(mod5)thì
(n²−2)²=(−1)²=1.

n²≡4(mod5) thì
(n²−2)²=2²=4.

Trong cả hai trường hợp,

(n²−2)²≡n⁴(mod5).

Do đó

n³(n²−7)²≡n³⋅n⁴=n⁷≡n³⋅n⁴≡n(mod5),

vì n⁴≡1.

Suy ra

B≡n−n≡0(mod5).
3. Chứng minh BBB chia hết cho 7
Ta có

36≡1(mod7),

nên

B≡n³(n²)²−n=n⁷−n(mod7).

Theo định lý Fermat nhỏ,

n⁷≡n(mod7).

Suy ra

B≡0(mod7).
Kết luận
Ta đã chứng minh

3∣B, 5∣B, 7∣B.

Vì 3,5,7 đôi một nguyên tố cùng nhau nên

3⋅5⋅7=105∣B.

Do đó

n³(n²−7)²−36n chia hết cho 105 với mọi n∈Z.

1 câu trả lời 23

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8