Để chứng minh $AF$ là tia phân giác của góc $\widehat{A}$ (tức là góc $\widehat{BAC}$), chúng ta có thể sử dụng phương pháp hình học lớp 9 bằng cách chứng minh một tứ giác nội tiếp.

Dưới đây là lời giải chi tiết và từng bước:

1. Vẽ hình và Phân tích giả thiết
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\Rightarrow \widehat{BAC} = 90^\circ$.
Tam giác $EBF$ vuông cân tại $F$ $\Rightarrow \widehat{EFB} = 90^\circ$ và $FB = FE$.
Để chứng minh $AF$ là tia phân giác của góc $A$, ta cần chứng minh $\widehat{BAF} = \widehat{CAF} = 45^\circ$.

2. Các bước chứng minh
Bước 1: Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
Xét tứ giác $ABEF$, ta có:

Góc $\widehat{BAB}$ hay $\widehat{EAB} = 90^\circ$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $A$).
Góc $\widehat{EFB} = 90^\circ$ (do tam giác $EBF$ vuông cân tại $F$).
Hai đỉnh $A$ và $F$ cùng nhìn cạnh $BE$ dưới một góc bằng $90^\circ$.
Kết luận: Tứ giác $ABEF$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $BE$.
Bước 2: Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp để suy ra góc
Do tứ giác $ABEF$ nội tiếp, các góc nội tiếp cùng chắn một cung sẽ bằng nhau.

Xét cung $BF$, ta có góc nội tiếp $\widehat{BAF}$ chắn cung $BF$.
Đồng thời, góc nội tiếp $\widehat{BEF}$ cũng chắn cung $BF$.
Từ đó suy ra:

$\widehat{BAF} = \widehat{BEF}$
Bước 3: Tính số đo góc
Xét tam giác $EBF$ vuông cân tại $F$.
Vì là tam giác vuông cân nên hai góc ở đáy phải bằng nhau và bằng $45^\circ$:

$\widehat{BEF} = \widehat{EBF} = 45^\circ$
Mà ở Bước 2 ta đã có $\widehat{BAF} = \widehat{BEF}$, do đó:

$\widehat{BAF} = 45^\circ$
Bước 4: Kết luận
Ta có góc $\widehat{BAC} = 90^\circ$ và tia $AF$ nằm giữa hai tia $AB, AC$.
Mà $\widehat{BAF} = 45^\circ$ nên góc còn lại:

$\widehat{CAF} = \widehat{BAC} - \widehat{BAF} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$
Vì $\widehat{BAF} = \widehat{CAF} = 45^\circ$, ta kết luận $AF$ chính là tia phân giác của góc $\widehat{A}$. (Điều phải chứng minh)

1. Khai thác giả thiết tam giác \(EBF\) vuông cân tại \(F\):
Vì \(\Delta EBF\) vuông cân tại \(F\), ta có: \(EF = FB\) và \(\widehat{EFB} = 90^{\circ}\).
\(\widehat{EBF} = \widehat{FEB} = 45^{\circ}\).

2. Chứng minh tứ giác \(ABFE\) nội tiếp:
Ta có \(\widehat{BAE} = 90^{\circ}\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)).
Ta có \(\widehat{EFB} = 90^{\circ}\).
Suy ra tứ giác \(ABFE\) có tổng hai góc đối bằng \(180^{\circ }\) (\(\widehat{BAE} + \widehat{EFB} = 180^{\circ}\)), nên \(ABFE\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(BE\).

3. Khai thác tứ giác nội tiếp để chứng minh \(AF\) là phân giác:
Vì tứ giác \(ABFE\) nội tiếp, các góc nội tiếp cùng chắn một cung sẽ bằng nhau:
\(\widehat{AFB} = \widehat{AEB}\) (cùng chắn cung \(AB\)).
Mặt khác, trong \(\Delta EBF\) vuông cân tại \(F\) ở trên, ta có \(\widehat{FEB} = 45^{\circ}\), hay \(\widehat{AEB} = 45^{\circ}\) (do \(E\) thuộc cạnh \(AC\)).
Do đó, \(\widehat{AFB} = 45^{\circ}\).

4. Chứng minh \(\Delta ABF\) vuông cân:
Xét tam giác vuông \(ABF\), ta có \(\widehat{FAB} + \widehat{AFB} = 90^{\circ}\) (tổng hai góc nhọn phụ nhau).
Suy ra \(\widehat{FAB} + 45^{\circ} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{FAB} = 45^{\circ}\).
Vì \(\widehat{FAB} = \widehat{AFB} = 45^{\circ}\) nên tam giác \(ABF\) vuông cân tại \(B\).
Từ đó, ta suy ra \(AB = BF\).

5. Kết luận \(AF\) là tia phân giác:
Xét tam giác vuông \(ABC\) và tam giác \(ABF\):Cạnh chung \(AB\).
Góc vuông \(\widehat{BAC} = \widehat{ABF} = 90^{\circ}\) (do \(\Delta ABF\) vuông cân tại \(B\)).
Ta có \(AC\) là cạnh góc vuông, còn \(BF\) chính là một phần của cạnh huyền \(BC\) (\(BF = AB\)).

Hai tam giác vuông này đồng dạng với nhau, dẫn tới góc tương ứng bằng nhau, từ đó suy ra góc \(\widehat{FAC} = \widehat{FAB}\).
Vậy \(AF\) là tia phân giác của góc \(A\) (đpcm).