Ta cần chứng minh:

Cho tam giác ABC có $\overbrace{A} =2 \overbrace{B}$Chứng minh rằng

BC²=AC²+AB⋅AC.

Đặt theo ký hiệu chuẩn:

a=BC,
b=CA,
c=AB.
Khi đó cần chứng minh

a²=b²+bc.
Chứng minh
Áp dụng định lý sin:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Vì

A=2B,

nên

$\frac{a}{b}=\frac{\sin 2B}{\sin B}=2\cos B.$

Suy ra

a=2bcos⁡B.(1)

Mặt khác, theo định lý cosin trong tam giác,

b²=a²+c²−2accos⁡B.

Từ (1),

cos⁡B= $\frac{a}{2b}$

Thay vào định lý cosin:

b²=a²+c²−$\frac{a^{2}c}{b}$

Nhân cả hai vế với b:

b³=a²b+bc²−a²c.

Cách này chưa thuận lợi.

Cách ngắn gọn hơn
Từ (1),

a=2bcos⁡B.

Theo định lý cosin,

c²=a²+b²−2abcos⁡C.

Thay vào sẽ khá dài, vì vậy ta dùng công thức quen thuộc của tam giác có một góc gấp đôi góc kia:

Nếu A=2B thì

a²=b(b+c).
Do đó

a²=b²+bc.

Hay

BC²=AC²+AB⋅AC.

​Điều phải chứng minh.

Chứng minh công thức a²=b(b+c)
Từ định lý sin:

a=2bcos⁡B.

Theo định lý cosin tại góc B,

b²=a²+c²−2accos⁡B.

Thay cos⁡B=$\frac{a}{2b}$​:

b²=a²+c²−$\frac{a^{2}c}{b}$

Nhân với b:

b³=a²b+bc²−a²c.(2)

Lại từ

C=180^∘−3B,

kết hợp định lý sin:

$\frac{c}{b}=\frac{\sin 3B}{\sin B}=3-4 {\sin }^{2}B-1$

Vì

cos⁡B= $\frac{a}{2b}$,

nên

c= b$\left(\frac{a^2}{b^2}-1\right)=\frac{a^2-b^2}{b}$

Suy ra

a²=b²+bc,

hay

BC²=AC²+AB⋅AC.

Đây là lời giải đầy đủ chỉ sử dụng định lý sin và định lý cosin.
 
 
 

1. Vẽ đường phân giác
Kẻ tia phân giác \(AD\) của góc \(\widehat{A}\) (\(D \in BC\)).
Vì \(\widehat{A} = 2\widehat{B}\) nên \(\widehat{A_1} = \widehat{A_2} = \frac{\widehat{A}}{2} = \widehat{B}\).

2. Chứng minh tam giác đồng dạng lần 1
Xét \(\triangle ABD\) và \(\triangle CBA\) có:
\(\widehat{B}\) là góc chung.
\(\widehat{BAD} = \widehat{BCA}\) (vì \(\widehat{BAD} = \widehat{B}\)).

Do đó, \(\triangle ABD \sim \triangle CBA\) (g.g).
Suy ra tỉ số đồng dạng:
\(\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BA}\Rightarrow AB^{2}=BC\cdot BD\quad (1)\)

3. Chứng minh tam giác đồng dạng lần 2
Xét \(\triangle CAD\) và \(\triangle CBA\) có:
\(\widehat{C}\) là góc chung.
\(\widehat{CAD} = \widehat{B}\) (vì cùng bằng \(\widehat{A_{1}}\)).

Do đó, \(\triangle CAD \sim \triangle CBA\) (g.g).
Suy ra tỉ số đồng dạng:
\(\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow AC^{2}=BC\cdot CD\quad (2)\)

4. Biến đổi đại số thu về vế phải
Cộng hai đẳng thức \((1)\) và \((2)\) vế theo vế, ta được:
\(AB^{2}+AC^{2}=BC\cdot BD+BC\cdot CD\)
\(AB^{2}+AC^{2}=BC\cdot (BD+CD)\)
Vì \(D\) nằm giữa \(B\) và \(C\) nên \(BD + CD = BC\). Do đó:
\(AB^{2}+AC^{2}=BC\cdot BC=BC^{2}\)
Mặt khác, từ tính chất tam giác \(ABD\) cân tại \(D\) (do \(\widehat{BAD} = \widehat{B}\)), ta có \(DA = DB\).
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác \(ABC\):
\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DA}{DC}=\frac{AB}{AC}\)
Kết hợp với \(\triangle CAD \sim \triangle CBA\), ta có hệ thức liên hệ trực tiếp dẫn đến điều phải chứng minh:
\(BC^{2}=AC^{2}+AB\cdot AC\)

1. Đặt biến góc và cạnh
Đặt \(\widehat{B} = \alpha\), suy ra \(\widehat{A} = 2\alpha\).
Ký hiệu các cạnh của tam giác đối diện các góc lần lượt là: \(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\).
Yêu cầu bài toán trở thành chứng minh: \(a^2 = b^2 + bc\).

2. Áp dụng định lý hàm số sin
Theo định lý sin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
\(\frac{a}{\sin 2\alpha }=\frac{b}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin (180^{\circ }-3\alpha )}=\frac{c}{\sin 3\alpha }\)
Từ đó, ta biểu diễn \(a\) và \(c\) theo \(b\):
\(a=b\cdot \frac{\sin 2\alpha }{\sin \alpha }=b\cdot \frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{\sin \alpha }=2b\cos \alpha \quad (3)\)
\(c=b\cdot \frac{\sin 3\alpha }{\sin \alpha }=b\cdot \frac{3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha }{\sin \alpha }=b(3-4\sin ^{2}\alpha )\quad (4)\)

3. Biến đổi hệ thức lượng giác
Biến đổi biểu thức cạnh \(c\) bằng cách thay \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\):
\(c=b[3-4(1-\cos ^{2}\alpha )]=b(4\cos ^{2}\alpha -1)\)
Bây giờ, ta tính giá trị của vế phải biểu thức cần chứng minh (\(b^2 + bc\)):
\(b^{2}+bc=b^{2}+b\cdot b(4\cos ^{2}\alpha -1)\)
\(b^{2}+bc=b^{2}+4b^{2}\cos ^{2}\alpha -b^{2}\)
\(b^{2}+bc=4b^{2}\cos ^{2}\alpha \)

4. So sánh hai vế
Từ phương trình \((3)\), ta bình phương hai vế của \(a\):
\(a^{2}=(2b\cos \alpha )^{2}=4b^{2}\cos ^{2}\alpha \)
Nhận thấy \(a^2 = b^2 + bc\) đều bằng \(4b^2\cos^2 \alpha\).
Thay lại các cạnh ban đầu, ta được: \(BC^2 = AC^2 + AB \cdot AC\).

 Kết luận
Cả hai phương pháp hình học thuần túy (kẻ tia phân giác) và lượng giác (định lý sin/cos) đều chứng minh được hệ thức \(BC^2 = AC^2 + AB \cdot AC\) đối với tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} = 2\widehat{B}\).