Ta cần chứng minh

abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)≥0

với

a²+b²+c²=1.

Ta có lời giải ngắn gọn như sau.

Bước 1. Đánh giá abc
Theo bất đẳng thức

a²+b²+c²≥∣ab∣+∣bc∣+∣ca∣,

suy ra

∣ab∣+∣bc∣+∣ca∣≤1.

Lại có

2∣ab∣≤a²+b²,2∣bc∣≤b²+c²,2∣ca∣≤c²+a²,

nên

∣ab∣,∣bc∣,∣ca∣≤$\frac{1}{2}$

​Do đó

∣abc∣=$\sqrt{\left|ab\right|\left|bc\right|\left|ca\right|}\le \frac{\left|ab\right|\left|bc\right|\left|ca\right|}{3}\le \frac{1}{3}$

Suy ra

abc≥−$\frac{1}{3}$​.
Bước 2. Đánh giá phần còn lại
Ta có

1+a+b+c+ab+ac+bc=$\frac{1}{2}$((a+b+c+1)²+1−a²−b²−c²).

Vì

a²+b²+c²=1,

nên

1+a+b+c+ab+ac+bc=$\frac{1}{2}$(a+b+c+1)²≥0.

Do đó

2(1+a+b+c+ab+ac+bc)=(a+b+c+1)²≥0.
Bước 3. Kết luận
Suy ra

abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)≥−$\frac{1}{3}$+0>0.

​Vì vậy

abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)≥0.

​Thực tế, bất đẳng thức còn mạnh hơn:

abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc)≥−$\frac{1}{3}$

Do đó điều phải chứng minh hiển nhiên đúng.

Bước 1: Biến đổi biểu thức cần chứng minh
Ta nhân phân phối số \(2\) vào trong ngoặc và tách các hạng tử một cách khéo léo:
\(abc+2+2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca\ge 0\)
Ta tách số \(2\) thành \(1 + 1\) để nhóm với các đại lượng khác:
\(\Leftrightarrow [1+a+b+c+ab+bc+ca+abc]+[1+a+b+c+ab+bc+ca]\ge 0\)
Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức và giả thiết
Nhóm thứ nhất chính là khai triển của tích ba nhân tử:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca+abc=(1+a)(1+b)(1+c)\)
Nhóm thứ hai, ta thay số \(1\) bằng giả thiết \(a^2+b^2+c^2\):
\(1+a+b+c+ab+bc+ca=(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a+b+c+ab+bc+ca\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\((1+a)(1+b)(1+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca+a+b+c\ge 0\)
Bước 3: Đánh giá từng cụm đại lượng
Vì \(a^2+b^2+c^2 = 1 \implies a^2 \le 1 \implies -1 \le a \le 1 \implies 1+a \geq 0\).
Tương tự ta có \(1+b \geq 0\) và \(1+c \geq 0\).
Do đó: \((1+a)(1+b)(1+c) \geq 0\) (1)
Xét cụm còn lại, ta nhân thêm \(2\) để tạo thành các bình phương phương hoàn hảo:
\(2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca+a+b+c)\)
\(=(a^{2}+2ab+b^{2})+(b^{2}+2bc+c^{2})+(c^{2}+2ca+a^{2})+2a+2b+2c\)
\(=(a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(c+a)^{2}+2a+2b+2c\)
Nhóm tiếp với hằng đẳng thức dạng \(X^2 + 2X + 1 = (X+1)^2\):
\(=[(a+b)^{2}+2(a+b)+1]+[(b+c)^{2}+2(b+c)+1]+[(c+a)^{2}+2(c+a)+1]-3+2a+2b+2c-2(a+b)-2(b+c)-2(c+a)\)
Cách tách này bị dư, ta làm cách đơn giản hơn cho lớp 8:
Ta biết rằng: \(a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2\).
Vậy cụm đó bằng:
\(\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{1}{2}[a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)]+(a+b+c)\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}+(a+b+c)\)
Đặt \(t = a+b+c\), biểu thức trở thành: \(\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t+1)^2\).
Vì \((t+1)^2 \geq 0\) với mọi \(t\) nên \(a^2+b^2+c^2 + ab+bc+ca + a+b+c \geq 0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tổng của hai cụm này luôn lớn hơn hoặc bằng 0 (Điều phải chứng minh).

Bước 1: Đặt ẩn phụ
Đặt \(S = a+b+c\) và \(Q = ab+bc+ca\).
Theo hằng đẳng thức lớp 8: \(S^2 = (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 1 + 2Q\).
Từ đó ta rút ra được: \(2Q = S^2 - 1\).
Bước 2: Thay vào vế trái (VT) của bất đẳng thức
Biến đổi vế trái:
\(VT=abc+2(1+S+Q)=abc+2+2S+2Q\)
Thay \(2Q = S^2 - 1\) vào biểu thức trên:
\(VT=abc+2+2S+(S^{2}-1)=abc+S^{2}+2S+1=abc+(S+1)^{2}\)
Bước 3: Đánh giá giá trị
Bất đẳng thức cần chứng minh bây giờ trở thành:
\(abc+(a+b+c+1)^{2}\ge 0\)
Trường hợp 1: Nếu trong 3 số \(a, b, c\) có tích \(abc \geq 0\).
Vì \((a+b+c+1)^2 \geq 0\) với mọi \(a,b,c\), nên hiển nhiên \(abc + (a+b+c+1)^2 \geq 0\) (Đúng).
Trường hợp 2: Nếu tích \(abc < 0\).
Điều này có nghĩa là có lẻ số âm (hoặc 1 số âm, hoặc cả 3 số đều âm).
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a < 0\). Vì \(a^2+b^2+c^2=1 \implies a^2 \le 1 \implies a \geq -1\).
Do \(a\) âm nên \(-1 \le a < 0 \implies 0 < -a \le 1\).
Tương tự cho các biến còn lại, vì \(\vert{}a\vert{},\vert{}b\vert{},\vert{}c\vert{} \le 1\) nên ta luôn có bất đẳng thức hiển nhiên:
\((1+a)(1+b)(1+c)\ge 0\Leftrightarrow 1+(a+b+c)+(ab+bc+ca)+abc\ge 0\)
\(\Leftrightarrow abc\ge -(1+S+Q)\)
Mà ở phần biến đổi trên, ta đã có: \(1+S+Q = 1 + S + \frac{S^2-1}{2} = \frac{S^2+2S+1}{2} = \frac{(S+1)^2}{2}\).
Suy ra: \(abc \geq -\frac{(S+1)^2}{2}\).
Thay vào vế trái:
\(VT=abc+(S+1)^{2}\ge -\frac{(S+1)^{2}}{2}+(S+1)^{2}=\frac{(S+1)^{2}}{2}\ge 0\)
(Luôn đúng).

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=-1, c=1\) hoặc các hoán vị tương tự.