Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $ABC$ là tam giác vuông $AB = BC = 1\,;{\rm{ AA'}} = \sqrt 2 ,$ \[M\] là trung điểm của \[BC.\] Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \[AM\] và $B'C$ là Đáp án: ………. (ảnh 1)$

Gọi \[N\] là trung điểm của $BB'$ nên $MN\,{\rm{//}}\,B'C.$

$ \Rightarrow \left( {AMN} \right)\,{\rm{//}}\,B'C \Rightarrow d\left( {AM,\,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right)$

Tam giác vuông \[ABC\] có $AB = BC = 1 \Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại B $ \Rightarrow AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {1 + \frac{1}{4}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$.

Xét tam giác vuông $BB'C$ có:

$B'C = {\rm{ }}\sqrt {B{{B'}^2} + B{C^2}} = \sqrt {2 + 1} = \sqrt 3 \Rightarrow MN = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Xét tam giác vuông \[ABN\] có: $AN = \sqrt {A{B^2} + B{N^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

$ \Rightarrow {S_{AMN}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \frac{{\sqrt {14} }}{8}$.

Ta có ${S_{AMC}} = \frac{1}{2}AB \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{NAMC}} = \frac{1}{3}NM \cdot {S_{AMC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{{24}}$.

Mà ${V_{N.AMC}} = \frac{1}{3}d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) \cdot {S_{AMN}}$ nên $d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{NAMC}}}}{{{S_{AMN}}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{8}}}{{\frac{{\sqrt {14} }}{8}}} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}$.

Đáp án: $\frac{{\sqrt 7 }}{7}$.

...Xem thêm

Answer 2