Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$Cho hình tứ diện đều \[ABCD\] có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi $A',\,\,B',C',D'$ lần lượt là điểm đối xứng của \[A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\] qua các mặt phẳng (ảnh 1)$

Dễ dàng nhận thấy tứ diện $A'B'C'D'$ đồng dạng với tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k = \frac{{A'B'}}{{AB}}.$

Gọi $M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,ACD$ ta có $AM \bot \left( {BCD} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,BN \bot \left( {ACD} \right)$.

Gọi $G = AM \cap BN$.

Ta có $G$ là trọng tâm của tứ diện đều $ABCD$ nên $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{{AG}}{{AA'}} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{{GA'}}{{GA}} = \frac{5}{3}$.

Áp dụng định lí Thalès, ta có: $\frac{{GA'}}{{GA}} = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{5}{3} = k$$ \Rightarrow \frac{{{V_{A'B'C'D'}}}}{{{V_{ABCD}}}} = {k^3} = \frac{{125}}{{27}}$.

Mà $ABCD$ là tứ diện đều cạnh 1 nên ${V_{ABCD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}$.

Vậy ${V_{A'B'C'D'}} = \frac{{125}}{{37}}.\frac{{\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{125\sqrt 2 }}{{324}}$. Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2