Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y + 4 = 0}\\{x + 2y - 4 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{4}{7}}\\{y = \frac{{16}}{7}}\end{array}} \right. \Rightarrow A\left( { - \frac{4}{7}\,;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\frac{{16}}{7}} \right)\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y + 4 = 0}\\{2x + 3y - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{{10}}{{11}}}\\{y = \frac{{14}}{{11}}}\end{array}} \right. \Rightarrow B\left( { - \frac{{10}}{{11}}\,;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\frac{{14}}{{11}}} \right).\)

Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4 = 0}\\{2x + 3y - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 8}\\{y = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow C\left( { - 8\,;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,6} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( { - \frac{{78}}{{11}};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{52}}{{11}}} \right) \Rightarrow BC = \frac{{26\sqrt {13} }}{{11}}\).

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {A,{\mkern 1mu} BC} \right) \cdot BC\)\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - \frac{4}{7}} \right) + 3 \cdot \frac{{16}}{7} - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} \cdot \frac{{26\sqrt {13} }}{{11}}\)\( = \frac{{26}}{{2 \cdot 7\sqrt {13} }} \cdot \frac{{26\sqrt {13} }}{{11}} = \frac{{338}}{{77}}\).

Chọn C.