Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$Cho tam giác ABC có $AB = 4\,,\,\,AC = 2\,,\,\,\widehat {CAB} = 120^\circ $. Gọi \[M\] là điểm thay đổi thuộc mặt cầu tâm \[B,\] bán kính 2. Giá trị nhỏ nhất của $MA + 2MC$ là $a\sqrt b $. Tính $a + b$. Đáp án: ………. (ảnh 1)$

Gọi E là giao điểm của AB với mặt cầu tâm B bán kính 2 và F là trung điểm của EB suy ra E là trung điểm của AB, $BE = BM = 2$.

Xét $\Delta AFC$ có:

$F{C^2} = A{C^2} + A{F^2} - 2AC.AF.\cos \widehat {CAB} = {2^2} + {3^2} - 2.2.3.\cos 120^\circ = 19$$ \Rightarrow FC = \sqrt {19} .$

Xét \[\Delta BFM\] và $\Delta BMA$ có: $\widehat {ABM}$ chung, $\frac{{BF}}{{BM}} = \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{1}{2}$.

Do đó .

Khi đó $MA + 2MC = 2\left( {MF + MC} \right) \ge 2FC = 2\sqrt {19} \Rightarrow MA + 2MC \ge 2\sqrt {19} $.

Điểm \[F\] nằm trong mặt cầu \[\left( S \right)\] và \[C\] nằm ngoài mặt cầu \[\left( S \right)\].

Dấu xảy ra khi \[M\] là giao điểm của \[FC\] và \[\left( S \right)\].

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $MA + 2MC$ là $2\sqrt {19} $.

Suy ra $a = 2,\,\,b = 19 \Rightarrow a + b = 21$.

Đáp án: 21.

...Xem thêm

Answer 2