Xét các số thực dương \[a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\] thoả mãn \(a > 1,\,\,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} .\) Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 2y\) gần bằng với số nguyên nào nhất?
Đáp án: ……….
Quảng cáo
1 câu trả lời 3
Ta có \({a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {{\log }_a}\sqrt {ab} = \frac{1}{2}{{\log }_a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\log }_a}b}\\{y = {{\log }_b}\sqrt {ab} = \frac{1}{2}{{\log }_b}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\log }_b}a}\end{array}} \right.\)
Đặt \(X = {\log _a}b > 0\), khi đó \(P = x + 2y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}X + 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X}} \right)\)
\( = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}X + 1 + \frac{1}{X} = \left( {\frac{X}{2} + \frac{1}{X}} \right) + \frac{3}{2} \ge 2\sqrt {\frac{X}{2} \cdot \frac{1}{X}} + \frac{3}{2} = \sqrt 2 + \frac{3}{2}{\rm{. }}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\sqrt 2 + \frac{3}{2} \approx 3.\)
Đáp án: 3.
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Hỏi từ APP VIETJACK
Đã trả lời bởi chuyên gia
130339 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
105000 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
94772 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
72725

