Ta có \({\log _x}y + 6{\log _y}x = 5 \Leftrightarrow {\log _x}y + \frac{6}{{{{\log }_x}y}} = 5 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_x}y} \right)^2} - 5{\log _x}y + 6 = 0\)

TH1: \({\log _x}y = 2 \Leftrightarrow y = {x^2} \in \left[ {2\,;\,\,2021} \right] \Leftrightarrow 2 \le {x^2} \le 2021 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt 2 \le x \le \sqrt {2021} }\\{ - \sqrt {2021} \le x \le - \sqrt 2 }\end{array}} \right..\)

Kết hợp với điều kiện: \(2 \le x \le 2020\) và \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) có 43 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\).

TH2: \({\log _x}y = 3 \Leftrightarrow y = {x^3} \in \left[ {2\,;\,\,2021} \right] \Leftrightarrow 2 \le {x^3} \le 2021 \Leftrightarrow \sqrt[3]{2} \le x \le \sqrt[3]{{2021}}\)

Kết hợp với điều kiện: \(2 \le x \le 2020\) và \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) có 11 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\).

Vậy có tất cả \(43 + 11 = 54\) cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\).

Đáp án: 54.