Ta có điểm biểu diễn \(z\) là \(M\left( {x\,;\,\,y} \right).\)

• Với \(m = 0\), ta có \(z = 0\), thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Với \(m > 0\):

− Tập hợp điểm biểu diễn của số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = m\) đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(I\left( {0\,;\,\,0} \right)\) bán kính \(R = m\)

− Tập hợp điểm biểu diễn của số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 4m + 3mi} \right| = {m^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4m} \right)^2} + {\left( {y + 3m} \right)^2} = {m^4}\) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \(I'\left( {4m\,;\,\, - 3m} \right)\), bán kính \(R' = {m^2}.\)

Có duy nhất một số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc nhau

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{OI = R + R'}\\{OI' = \left| {R - R'} \right|}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{5m = {m^2} + m}\\{5m = \left| {{m^2} - m} \right|}\\{m > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 4}\\{m = 6}\end{array}.} \right.} \right.}\end{array}} \right.\)

Kết hợp với \(m = 0\), suy ra \(m \in \left\{ {0\,;\,\,4\,;\,\,6} \right\}.\) Vậy tổng tất cả các giá trị của \(m\) là 10.

Đáp án: 10.