Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB = a,\,\,AC = 2a,\,\,\widehat {BAC} = 120^\circ .$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh (ảnh 1)$

Ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}$

$ = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos 120^\circ = 7{a^2}.$

Đặt $CC' = 2x \Rightarrow CM = MC' = x.$

Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ đứng nên ta có tam giác \[BCM\] vuông tại $C$ và tam giác $A'C'M$ vuông tại $C'.$

Ta có: $B{M^2} = B{C^2} + C{M^2} = 7{a^2} + {x^2};$

$A'{M^2} = A'{C^2} + C'{M^2} = {\left( {2a} \right)^2} + {x^2} = 4{a^2} + {x^2}$; $A'{B^2} = A'{A^2} + A{B^2} = 4{x^2} + {a^2}.$

Vi $\widehat {BMA'} = 90^\circ $ nên tam giác $BMA'$ vuông tại $M$, do đó:

$A'{B^2} = B{M^2} + A'{M^2} \Leftrightarrow 4{x^2} + {a^2} = 7{a^2} + {x^2} + 4{a^2} + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 5{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 5 .$ Ta có:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}AB \cdot d\left( {C,\,\,AB} \right) \Rightarrow d\left( {C,\,\,AB} \right) = a\sqrt 3 .$

Lại có: $d\left( {M,\left( {ABA'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABA'} \right)} \right) = d(C,AB)$ (vì $C{C^\prime }\,{\rm{//}}\,\left( {ABA'} \right)$ và $\left. {(ABC) \bot \left( {ABA'} \right)} \right).$

Ta có: ${S_{ABA'}} = \frac{1}{2}AB \cdot AA' = {a^2}\sqrt 5 \,;\,\,{S_{MBA'}} = \frac{1}{2}MB \cdot MA' = 3\sqrt 3 {a^2}.$

${V_{AA'BM}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABA'}} \cdot d\left( {M,\left( {ABA'} \right)} \right) = \frac{1}{3} \cdot {S_{MBA'}} \cdot d\left( {A,\left( {BMA'} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {BMA'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}.$

Chọn B.

...Xem thêm

Answer 2