Khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) bằng \(\frac{4}{3}\).

1. Xác định các vectơ đặc trưng
Mặt phẳng \((P): 2x - 2y + z + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là:
\(\vec{n}=(2;-2;1)\)
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số:
\(\begin{cases}x=-1+t\\ y=2-t\\ z=-3-4t\end{cases}\)
Từ phương trình tham số, ta suy ra \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là:
\(\vec{u}=(1;-1;-4)\)

2. Kiểm tra vị trí tương đối
Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{n}\) và \(\vec{u}\):
\(\vec{n}\cdot \vec{u}=2\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+1\cdot (-4)=2+2-4=0\)
Vì \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\) và điểm thuộc đường thẳng không nằm trên mặt phẳng, đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \((P)\). Do đó, khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên \(\Delta \) đến \((P)\).

3. Tính toán khoảng cách cụ thể
Chọn điểm \(M(-1; 2; -3)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) (bằng cách cho \(t = 0\)).
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((P)\):
\(d(\Delta ,(P))=d(M,(P))=\frac{|2\cdot (-1)-2\cdot 2+1\cdot (-3)+5|}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}\)
Tính toán giá trị ở tử số và mẫu số:
\(d(\Delta ,(P))=\frac{|-2-4-3+5|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{|-4|}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}\)

Kết luận ✅
Khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) là \(\frac{4}{3}\).
 

Khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) bằng \(\frac{4}{3}\).

1. Xác định các vectơ đặc trưng
Mặt phẳng \((P): 2x - 2y + z + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là:
\(\vec{n}=(2;-2;1)\)
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số:
\(\begin{cases}x=-1+t\\ y=2-t\\ z=-3-4t\end{cases}\)
Từ phương trình tham số, ta suy ra \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là:
\(\vec{u}=(1;-1;-4)\)

2. Kiểm tra vị trí tương đối
Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{n}\) và \(\vec{u}\):
\(\vec{n}\cdot \vec{u}=2\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+1\cdot (-4)=2+2-4=0\)
Vì \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0\) và điểm thuộc đường thẳng không nằm trên mặt phẳng, đường thẳng \(\Delta \) song song với mặt phẳng \((P)\). Do đó, khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên \(\Delta \) đến \((P)\).

3. Tính toán khoảng cách cụ thể
Chọn điểm \(M(-1; 2; -3)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) (bằng cách cho \(t = 0\)).
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((P)\):
\(d(\Delta ,(P))=d(M,(P))=\frac{|2\cdot (-1)-2\cdot 2+1\cdot (-3)+5|}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}\)
Tính toán giá trị ở tử số và mẫu số:
\(d(\Delta ,(P))=\frac{|-2-4-3+5|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{|-4|}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}\)

Kết luận ✅
Khoảng cách giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) là \(\frac{4}{3}\).
 

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z + 5 = 0\) có 1 VTPT \(\vec n = \left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\).

Đường thẳng Δ có VTCP \(\vec u = \left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right)\).

Ta có \[\vec n \cdot \vec u = 2 \cdot 1 - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 \cdot \left( { - 4} \right) = 0 \Rightarrow \Delta \,{\rm{//}}\,\left( P \right)\]

Lấy \(A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right) \in d\,,{\mkern 1mu} \,\,A \notin \left( P \right)\) (do \(2 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 2 + \left( { - 3} \right) + 5 \ne 0\))

\[ \Rightarrow d\left( {\Delta \,,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {A\,,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 1} \right) - 2 \cdot 2 + \left( { - 3} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{3}\].

Vậy \(d\left( {A\,,\left( P \right)} \right) = \frac{4}{3}\).

Đáp án: \(\frac{4}{3}\).