Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Giá trị của $\tan^4\varphi$ bằng $4$.

1. Xác định giao tuyến
Mặt phẳng $(ABC)$ trùng với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $BD$.

2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình vuông đáy $ABCD$. [1]
Do $ABCD$ là hình vuông nên $AO \perp BD$.
Vì $A'A \perp (ABCD)$ nên theo định lý ba đường vuông góc, ta suy ra $A'O \perp BD$.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABCD)$ chính là góc giữa hai đường thẳng $A'O$ và $AO$ cùng vuông góc với giao tuyến $BD$ tại $O$.
$\varphi =\widehat{A^{\prime }OA}$

3. Tính $\tan \varphi$ và giá trị biểu thức
Giả sử hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. [1]
Chiều cao hình lập phương: $A'A = a$.
Độ dài đường chéo đáy: $AC = a\sqrt{2} \implies AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác $A'AO$ vuông tại $A$, ta có:
$\tan \varphi =\frac{A^{\prime }A}{AO}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$
Từ đó, ta tính được giá trị của $\tan^4 \varphi$:
$\tan ^{4}\varphi =(\sqrt{2})^{4}=4$

✅ Đáp án
Giá trị của biểu thức cần tìm là $\tan^4 \varphi = 4$.

...Xem thêm

Answer 2

Giá trị của $\tan^4\varphi$ bằng $4$.

1. Xác định giao tuyến
Mặt phẳng $(ABC)$ trùng với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $BD$.

2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình vuông đáy $ABCD$. [1]
Do $ABCD$ là hình vuông nên $AO \perp BD$.
Vì $A'A \perp (ABCD)$ nên theo định lý ba đường vuông góc, ta suy ra $A'O \perp BD$.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABCD)$ chính là góc giữa hai đường thẳng $A'O$ và $AO$ cùng vuông góc với giao tuyến $BD$ tại $O$.
$\varphi =\widehat{A^{\prime }OA}$

3. Tính $\tan \varphi$ và giá trị biểu thức
Giả sử hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. [1]
Chiều cao hình lập phương: $A'A = a$.
Độ dài đường chéo đáy: $AC = a\sqrt{2} \implies AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác $A'AO$ vuông tại $A$, ta có:
$\tan \varphi =\frac{A^{\prime }A}{AO}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$
Từ đó, ta tính được giá trị của $\tan^4 \varphi$:
$\tan ^{4}\varphi =(\sqrt{2})^{4}=4$

✅ Đáp án
Giá trị của biểu thức cần tìm là $\tan^4 \varphi = 4$.

Answer 3

Giá trị của $\tan^4\varphi$ bằng $4$.

1. Xác định giao tuyến
Mặt phẳng $(ABC)$ trùng với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $BD$.

2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình vuông đáy $ABCD$. [1]
Do $ABCD$ là hình vuông nên $AO \perp BD$.
Vì $A'A \perp (ABCD)$ nên theo định lý ba đường vuông góc, ta suy ra $A'O \perp BD$.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABCD)$ chính là góc giữa hai đường thẳng $A'O$ và $AO$ cùng vuông góc với giao tuyến $BD$ tại $O$.
$\varphi =\widehat{A^{\prime }OA}$

3. Tính $\tan \varphi$ và giá trị biểu thức
Giả sử hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. [1]
Chiều cao hình lập phương: $A'A = a$.
Độ dài đường chéo đáy: $AC = a\sqrt{2} \implies AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác $A'AO$ vuông tại $A$, ta có:
$\tan \varphi =\frac{A^{\prime }A}{AO}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$
Từ đó, ta tính được giá trị của $\tan^4 \varphi$:
$\tan ^{4}\varphi =(\sqrt{2})^{4}=4$

✅ Đáp án
Giá trị của biểu thức cần tìm là $\tan^4 \varphi = 4$.

...Xem thêm

Answer 4

Giá trị của $\tan^4\varphi$ bằng $4$.

1. Xác định giao tuyến
Mặt phẳng $(ABC)$ trùng với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $BD$.

2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình vuông đáy $ABCD$. [1]
Do $ABCD$ là hình vuông nên $AO \perp BD$.
Vì $A'A \perp (ABCD)$ nên theo định lý ba đường vuông góc, ta suy ra $A'O \perp BD$.

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABCD)$ chính là góc giữa hai đường thẳng $A'O$ và $AO$ cùng vuông góc với giao tuyến $BD$ tại $O$.
$\varphi =\widehat{A^{\prime }OA}$

3. Tính $\tan \varphi$ và giá trị biểu thức
Giả sử hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. [1]
Chiều cao hình lập phương: $A'A = a$.
Độ dài đường chéo đáy: $AC = a\sqrt{2} \implies AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác $A'AO$ vuông tại $A$, ta có:
$\tan \varphi =\frac{A^{\prime }A}{AO}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$
Từ đó, ta tính được giá trị của $\tan^4 \varphi$:
$\tan ^{4}\varphi =(\sqrt{2})^{4}=4$

✅ Đáp án
Giá trị của biểu thức cần tìm là $\tan^4 \varphi = 4$.

Answer 5

$Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\], gọi \[\varphi \] là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'BD} \right)$ và $\left( {ABC} \right).$ Tính ${\tan ^4}\varphi .$ Đáp án: ………. (ảnh 1)$

Gọi $a$ là cạnh hình lập phương và $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Ta có $\left( {A'BD} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BD$

Trong $\left( {ABCD} \right)$ có $AC \bot BD$ (do $ABCD$ là hình vuông)

Trong $\left( {A'BD} \right)$ có $A'O \bot BD$ (do tam giác $A'BD$ cân tại $A'$)

Suy ra $\left( {\widehat {\left( {A'BD} \right),\,\,\left( {ABC} \right)}} \right) = \left( {\widehat {A'O,\,\,AC}} \right)$ hay $\varphi = \widehat {A'OA}$.

Ta có $AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}$.

Xét tam giác $AA'O$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat {A'OA} = \frac{{AA'}}{{AO}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 2 $.

Do đó $\tan \varphi = \sqrt 2 $ nên ${\tan ^4}\varphi = 4.$

Đáp án: 4.

...Xem thêm

Answer 6