Giá trị của \(R^{2}\) bằng \(325\).

1. Biến đổi biểu thức theo \(z\)
Từ giả thiết hệ thức của \(w\), ta cô lập biến \(\={z}\):
\(w=(2+3i)\={z}+3+4i\implies w-3-4i=(2+3i)\={z}\)
Lấy môđun hai vế để thiết lập mối quan hệ hình học:
\(\={z}=\frac{w-3-4i}{2+3i}\)
Lấy liên hợp hai vế của phương trình trên:
\(z=\frac{\={w}-3+4i}{2-3i}\)

2. Sử dụng điều kiện đường tròn của \(z\)
Thế \(z\) vào giả thiết \(\vert{}z - 1\vert{} = 5\), ta được:
\(\left|\frac{\={w}-3+4i}{2-3i}-1\right|=5\implies \left|\frac{\={w}-3+4i-(2-3i)}{2-3i}\right|=5\)
\(\implies \frac{|\={w}-5+7i|}{|2-3i|}=5\implies |\={w}-(5-7i)|=5\cdot |2-3i|\)

3. Tính bán kính \(R\) và kết quả \(R^{2}\)
Ta có tính chất môđun của số phức liên hợp: \(\vert{}\bar{w} - \bar{c}\vert{} = \vert{}w - c\vert{}\) và \(\vert{}2-3i\vert{} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}\). Do đó:
\(|w-(5+7i)|=5\sqrt{13}\)
Phương trình trên chứng tỏ tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn có bán kính:
\(R=5\sqrt{13}\)
Vậy giá trị của \(R^{2}\) là:
\(R^{2}=(5\sqrt{13})^{2}=25\cdot 13=325\)

✅ Đáp án
Giá trị cần tìm là \(R^2 = 325\).

Giá trị của \(R^{2}\) bằng \(325\).

1. Biến đổi biểu thức theo \(z\)
Từ giả thiết hệ thức của \(w\), ta cô lập biến \(\={z}\):
\(w=(2+3i)\={z}+3+4i\implies w-3-4i=(2+3i)\={z}\)
Lấy môđun hai vế để thiết lập mối quan hệ hình học:
\(\={z}=\frac{w-3-4i}{2+3i}\)
Lấy liên hợp hai vế của phương trình trên:
\(z=\frac{\={w}-3+4i}{2-3i}\)

2. Sử dụng điều kiện đường tròn của \(z\)
Thế \(z\) vào giả thiết \(\vert{}z - 1\vert{} = 5\), ta được:
\(\left|\frac{\={w}-3+4i}{2-3i}-1\right|=5\implies \left|\frac{\={w}-3+4i-(2-3i)}{2-3i}\right|=5\)
\(\implies \frac{|\={w}-5+7i|}{|2-3i|}=5\implies |\={w}-(5-7i)|=5\cdot |2-3i|\)

3. Tính bán kính \(R\) và kết quả \(R^{2}\)
Ta có tính chất môđun của số phức liên hợp: \(\vert{}\bar{w} - \bar{c}\vert{} = \vert{}w - c\vert{}\) và \(\vert{}2-3i\vert{} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}\). Do đó:
\(|w-(5+7i)|=5\sqrt{13}\)
Phương trình trên chứng tỏ tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn có bán kính:
\(R=5\sqrt{13}\)
Vậy giá trị của \(R^{2}\) là:
\(R^{2}=(5\sqrt{13})^{2}=25\cdot 13=325\)

✅ Đáp án
Giá trị cần tìm là \(R^2 = 325\).

Ta có \(\left| {z - 1} \right| = \left| {\overline {z - 1} } \right| = \left| {\bar z - 1} \right| = 5\) mà \(w = \left( {2 + 3i} \right)\bar z + 3 + 4i \Leftrightarrow \bar z = \frac{{w - 3 - 4i}}{{2 + 3i}}\).

Suy ra \[\left| {\frac{{w - 3 - 4i}}{{2 + 3i}} - 1} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {\frac{{w - 5 - 7i}}{{2 + 3i}}} \right| = 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {w - 5 - 7i} \right|}}{{\left| {2 + 3i} \right|}} = 5 \Leftrightarrow \left| {w - 5 - 7i} \right| = 5\sqrt {13} \].

Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức \[w\] là đường tròn tâm \[I\left( {5\,;\,\,7} \right),\] bán kính \[R = 5\sqrt {13} .\]

Suy ra \({R^2} = {\left( {5\sqrt {13} } \right)^2} = 325.\)

Đáp án: 325.