Giá trị của \(b - a\) bằng \(1\).

1. Đổi biến số và nhận xét số nghiệm
Đặt \(t = \sin x\). Xét biến \(x\) trên đoạn \([0; \pi]\):
Khi \(x\) tăng từ \(0\) đến \(\frac{\pi }{2}\), \(t\) tăng tương ứng từ \(0\) đến \(1\).
Khi \(x\) tăng từ \(\frac{\pi }{2}\) đến \(\pi \), \(t\) giảm tương ứng từ \(1\) về \(0\).

Từ đó ta có nhận xét về mối liên hệ số nghiệm:
Với mỗi giá trị \(t \in [0; 1)\), phương trình \(\sin x = t\) cho đúng 2 nghiệm phân biệt \(x \in [0; \pi]\).
Với giá trị \(t = 1\), phương trình \(\sin x = 1\) chỉ cho đúng 1 nghiệm duy nhất là \(x = \frac{\pi}{2}\).

Do đó, để phương trình ban đầu \(f(\sin x) = m\) có đúng hai nghiệm trên đoạn \([0; \pi]\), phương trình \(f(t) = m\) phải có duy nhất một nghiệm thuộc nửa khoảng \([0; 1)\).

2. Biện luận theo đồ thị hàm số
Dựa trên hình vẽ đồ thị hàm số \(y = f(x)\) của bài toán gốc (đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội), khi xét biến trong nửa khoảng \([0; 1)\), đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(y = f(t)\) tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi:
\(-4<m\le -3\)

3. Tính giá trị \(b - a\)
Theo giả thiết, tập hợp các giá trị \(m\) thỏa mãn là \(m \in (a; b]\). Đối chiếu với kết quả biện luận trên ta tìm được:
\(a = -4\)
\(b = -3\)

Vậy giá trị của biểu thức \(b - a\) là:
\(b-a=-3-(-4)=1\)

✅ Đáp án
Giá trị cần tìm là \(1\).

Giá trị của \(b - a\) bằng \(1\).

1. Đổi biến số và nhận xét số nghiệm
Đặt \(t = \sin x\). Xét biến \(x\) trên đoạn \([0; \pi]\):
Khi \(x\) tăng từ \(0\) đến \(\frac{\pi }{2}\), \(t\) tăng tương ứng từ \(0\) đến \(1\).
Khi \(x\) tăng từ \(\frac{\pi }{2}\) đến \(\pi \), \(t\) giảm tương ứng từ \(1\) về \(0\).

Từ đó ta có nhận xét về mối liên hệ số nghiệm:
Với mỗi giá trị \(t \in [0; 1)\), phương trình \(\sin x = t\) cho đúng 2 nghiệm phân biệt \(x \in [0; \pi]\).
Với giá trị \(t = 1\), phương trình \(\sin x = 1\) chỉ cho đúng 1 nghiệm duy nhất là \(x = \frac{\pi}{2}\).

Do đó, để phương trình ban đầu \(f(\sin x) = m\) có đúng hai nghiệm trên đoạn \([0; \pi]\), phương trình \(f(t) = m\) phải có duy nhất một nghiệm thuộc nửa khoảng \([0; 1)\).

2. Biện luận theo đồ thị hàm số
Dựa trên hình vẽ đồ thị hàm số \(y = f(x)\) của bài toán gốc (đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội), khi xét biến trong nửa khoảng \([0; 1)\), đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị \(y = f(t)\) tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi:
\(-4<m\le -3\)

3. Tính giá trị \(b - a\)
Theo giả thiết, tập hợp các giá trị \(m\) thỏa mãn là \(m \in (a; b]\). Đối chiếu với kết quả biện luận trên ta tìm được:
\(a = -4\)
\(b = -3\)

Vậy giá trị của biểu thức \(b - a\) là:
\(b-a=-3-(-4)=1\)

✅ Đáp án
Giá trị cần tìm là \(1\).

Đặt \(\sin x = t \in \left[ {0\,;\,\,1} \right]{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,\left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \left[ {0\,;\,\,\pi } \right]} \right)\)\( \Rightarrow t' = \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy ứng với mỗi giá trị của t khác 1 thì có 2 giá trị của \[x.\]

Do đó để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = m\) có đúng hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0\,;\,\,2} \right]\) thì phương trình \(f\left( t \right) = m\) phải có một nghiệm duy nhất trên \(\left[ {0\,;\,\,1} \right)\)\( \Rightarrow  - 4 < m \le  - 3.\)

Khi đó \(b - a = \left( { - 3} \right) - \left( { - 4} \right) = 4 - 3 = 1.\)

Đáp án: 1.