Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ với $AB = a,\,\,AA' = 2a,\,\,A'C = 3a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $A'C'\,,\,\,I$ là giao điểm của đường thẳng $AM$ và $A'C.$ Thể tích khối $IABC$ theo $a$ là A. $V = \frac{2}{3}{a^3}$. B. $V = \frac{2}{9}{a^3}$. C. $V = \frac{4}{9}{a^3}$. D. $V = \frac{4}{3}{a^3}$. (ảnh 1)$

Ta có $A'M\,{\rm{//}}\,AC \Rightarrow \frac{{A'M}}{{AC}} = \frac{{A'I}}{{IC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{IC}}{{A'C}} = \frac{2}{3}.$

Vì \[IA' \cap \left( {ABC} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {I\,,\,\,\left( {ABC} \right)} \right)}}{{d\left( {A'\,,\,\,\left( {ABC} \right)} \right)}} = \frac{{IC}}{{A'C}} = \frac{2}{3}.\]

\[ \Rightarrow \frac{{{V_{I.ABC}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \frac{{\frac{1}{3}d\left( {I\,,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{ABC}}}}{{d\left( {A'\,,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{ABC}}}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\]\[ \Rightarrow {V_{I.ABC}} = \frac{2}{9}{V_{ABC.A'B'C'}}\].

Ta có $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot AC \Rightarrow \Delta AA'C$ vuông tại $A$.

\[ \Rightarrow AC = \sqrt {A'{C^2} - A{{A'}^2}} = \sqrt {9{a^2} - 4{a^2}} = a\sqrt 5 .\]

Xét tam giác vuông \[ABC\] có: \[BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a\].

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}a \cdot 2a = {a^2}\]\[ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA' \cdot {S_{ABC}} = 2a \cdot {a^2} = 2{a^3}\].

Vậy \[{V_{I.ABC}} = \frac{2}{9}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{9} \cdot 2{a^3} = \frac{{4{a^3}}}{9}.\] Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2