Bài 1: Tính thời gian thực tế của đội

1. Lập phương trình
Gọi thời gian dự định hoàn thành công việc là \(x\) (ngày, \(x > 6\)).
Năng suất dự định mỗi ngày: \(\frac{800}{x}\) (sản phẩm).
Số sản phẩm thực tế làm được: \(800 + 88 = 888\) (sản phẩm).
Thời gian thực tế hoàn thành: \(x - 6\) (ngày).
Năng suất thực tế mỗi ngày: \(\frac{888}{x-6}\) (sản phẩm).

2. Giải phương trình
Vì mỗi ngày thực tế làm tăng thêm 2 sản phẩm so với kế hoạch, ta có phương trình:
\(\frac{888}{x-6}-\frac{800}{x}=2\)
\(888x-800(x-6)=2x(x-6)\)
\(88x+4800=2x^{2}-12x\implies 2x^{2}-100x-4800=0\)
Chia cả hai vế cho 2: \(x^2 - 50x - 2400 = 0 \implies (x - 80)(x + 30) = 0\)
Vì \(x > 6\), ta chọn \(x = 80\).

3. Kết luận
Thời gian thực tế của đội là: \(80 - 6 = 74\) ngày.

Bài 2: Tính số áo may được mỗi ngày theo thực tế

1. Lập phương trình
Gọi năng suất dự định mỗi ngày của tổ là \(x\) (áo, \(x > 0\)).
Thời gian dự định hoàn thành: \(\frac{300}{x}\) (ngày).
Năng suất thực tế mỗi ngày: \(x + 10\) (áo).
Thời gian thực tế hoàn thành: \(\frac{300}{x+10}\) (ngày).

2. Giải phương trình
Vì tổ hoàn thành xong trước thời hạn 1 ngày, ta có phương trình:
\(\frac{300}{x}-\frac{300}{x+10}=1\)
\(300(x+10)-300x=x(x+10)\)
\(3000=x^{2}+10x\implies x^{2}+10x-3000=0\)
\((x-50)(x+60)=0\)
Vì \(x > 0\), ta chọn \(x = 50\).

3. Kết luận
Số áo thực tế mỗi ngày tổ may được là: \(50 + 10 = 60\) áo.

Bài 3: Tính thời gian dự định của tổ

1. Lập phương trình
Gọi thời gian dự định của tổ là \(x\) (ngày, \(x > 2\)).
Năng suất dự định mỗi ngày: \(\frac{120}{x}\) (áo).
Thời gian thực tế hoàn thành: \(x - 2\) (ngày).
Năng suất thực tế mỗi ngày: \(\frac{120}{x-2}\) (áo).

2. Giải phương trình
Vì thực tế năng suất tăng thêm 3 áo mỗi ngày, ta có phương trình:
\(\frac{120}{x-2}-\frac{120}{x}=3\)
\(120x-120(x-2)=3x(x-2)\)
\(240=3x^{2}-6x\implies 3x^{2}-6x-240=0\)
Chia cả hai vế cho 3: \(x^2 - 2x - 80 = 0 \implies (x - 10)(x + 8) = 0\)
Vì \(x > 2\), ta chọn \(x = 10\).

3. Kết luận
Thời gian dự định của tổ là 10 ngày.

Bài 4 & Bài 5 (Hai bài cùng đề bài): Tính diện tích ruộng phải cày theo kế hoạch

1. Lập phương trình
Gọi thời gian đội dự định cày là \(x\) (ngày, \(x > 2\)).
Diện tích ruộng dự định cày: \(40x\) (ha).
Thời gian thực tế đội cày: \(x - 2\) (ngày).
Diện tích ruộng thực tế cày được: \(52(x - 2)\) (ha).

2. Giải phương trình
Vì thực tế đội cày vượt mức kế hoạch 4 ha, ta có phương trình:
\(52(x-2)-40x=4\)
\(52x-104-40x=4\)
\(12x=108\implies x=9\text{\ (tha\ mãn)}\)

3. Kết luận
Diện tích ruộng đội phải cày theo dự định là: \(40 \times 9 = 360\) ha.

Bài 6: Tính số người ban đầu của đội công nhân

1. Lập phương trình
Gọi số người ban đầu của đội là \(x\) (người, \(x \in \mathbb{N}^*\)).
Số ngày hoàn thành công việc ban đầu: \(\frac{600}{x}\) (ngày).
Số người sau khi thêm: \(x + 5\) (người).
Số ngày hoàn thành sau khi tăng người: \(\frac{600}{x+5}\) (ngày).

2. Giải phương trình
Vì số ngày hoàn thành giảm đi 10 ngày, ta có phương trình:
\(\frac{600}{x}-\frac{600}{x+5}=10\)
Chia cả hai vế cho 10: \(\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 5} = 1\)
\(60(x+5)-60x=x(x+5)\)
\(300=x^{2}+5x\implies x^{2}+5x-300=0\)
\((x-15)(x+20)=0\)
Vì \(x > 0\), ta chọn \(x = 15\).

3. Kết luận
Số người ban đầu của đội công nhân là 15 người.

Bài 7: Tính chiều dài đoạn đường đội phải sửa

1. Lập phương trình
Gọi chiều dài toàn bộ đoạn đường cần sửa là \(x\) (mét, \(x > 0\)).
Ngày thứ nhất sửa được: \(\frac{1}{3}x\) (m).
Ngày thứ hai sửa được: \(\frac{4}{3} \times \frac{1}{3}x = \frac{4}{9}x\) (m).
Ngày thứ ba sửa được: \(80\) (m).

2. Giải phương trình
Tổng chiều dài sửa trong 3 ngày bằng chiều dài cả đoạn đường:
\(\frac{1}{3}x+\frac{4}{9}x+80=x\)
\(\frac{7}{9}x+80=x\implies \frac{2}{9}x=80\implies x=80\times \frac{9}{2}=360\)

3. Kết luận
Chiều dài đoạn đường đội phải sửa là 360 mét.

Bài 8: Tính số tấn than đội phải khai thác theo kế hoạch

1. Lập phương trình
Gọi thời gian dự định khai thác than là \(x\) (ngày, \(x > 1\)).
Số tấn than theo kế hoạch: \(50x\) (tấn).
Thời gian thực tế khai thác: \(x - 1\) (ngày).
Số tấn than khai thác thực tế: \(57(x - 1)\) (tấn).

2. Giải phương trình
Vì thực tế đội vượt mức kế hoạch 13 tấn than, ta có phương trình:
\(57(x-1)-50x=13\)
\(57x-57-50x=13\)
\(7x=70\implies x=10\text{\ (tha\ mãn)}\)

3. Kết luận
Theo kế hoạch, đội phải khai thác số tấn than là: \(50 \times 10 = 500\) tấn.

Bài 9: Tính số sản phẩm mỗi tổ trong tháng đầu

1. Lập hệ phương trình
Gọi số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 làm được trong tháng đầu lần lượt là \(x\) và \(y\) (sản phẩm, \(x, y \in \mathbb{N}^*\)).
Tổng sản phẩm tháng đầu: \(x + y = 800\) (1)
Sang tháng thứ hai, tổ 1 tăng 15% (làm được \(1,15x\)), tổ 2 tăng 20% (làm được \(1,2y\)). Tổng sản phẩm tháng hai là 945:
\(1,15x+1,2y=945\text{\ (2)}\)

2. Giải hệ phương trình
Từ (1) suy ra \(y = 800 - x\). Thế vào (2):
\(1,15x+1,2(800-x)=945\)
\(1,15x+960-1,2x=945\)
\(-0,05x=-15\implies x=300\)
Suy ra \(y = 800 - 300 = 500\).

3. Kết luận
Trong tháng đầu, tổ 1 làm được 300 sản phẩm, tổ 2 làm được 500 sản phẩm.

Bài 10: Tính số sản phẩm theo kế hoạch của mỗi tổ

1. Lập hệ phương trình
Gọi số sản phẩm theo kế hoạch của tổ 1 và tổ 2 lần lượt là \(x\) và \(y\) (sản phẩm, \(x, y \in \mathbb{N}^*\)).
Theo kế hoạch tổng sản phẩm: \(x + y = 800\) (1)
Thực tế tổ 1 tăng năng suất 10% (làm được \(1,1x\)), tổ 2 tăng năng suất 20% (làm được \(1,2y\)). Tổng sản phẩm thực tế là 910:
\(1,1x+1,2y=910\text{\ (2)}\)

2. Giải hệ phương trình
Từ (1) suy ra \(y = 800 - x\). Thế vào (2):
\(1,1x+1,2(800-x)=910\)
\(1,1x+960-1,2x=910\)
\(-0,1x=-50\implies x=500\)
Suy ra \(y = 800 - 500 = 300\).

3. Kết luận
Theo kế hoạch, tổ 1 phải làm 500 sản phẩm, tổ 2 phải làm 300 sản phẩm.

✅ BẢNG TỔNG HỢP ĐÁP SỐ CHÍNH XÁC

Bài
Kết quả
Đơn vị

Bài 1
74
ngày

Bài 2
60
áo

Bài 3
10
ngày

Bài 4
360
ha

Bài 5
360
ha

Bài 6
15
người

Bài 7
360
mét

Bài 8
500
tấn

Bài 9
Tổ 1: 300, Tổ 2: 500
sản phẩm

Bài 10
Tổ 1: 500, Tổ 2: 300
sản phẩm

Bài 1
Tóm tắt bài toán:

Kế hoạch: 800 sản phẩm.
Thực tế: Làm thêm được 88 sản phẩm (tổng cộng $800 + 88 = 888$ sản phẩm), mỗi ngày làm tăng 2 sản phẩm, xong sớm hơn 6 ngày.
Yêu cầu: Tính thời gian thực tế.
Lời giải:

Gọi thời gian thực tế đội sản xuất làm việc là $x$ (ngày) ($x > 0$).

Vì thực tế xong sớm hơn dự định 6 ngày nên thời gian dự định là: $x + 6$ (ngày).

Số sản phẩm thực tế đội làm được là: $800 + 88 = 888$ (sản phẩm).
Năng suất thực tế (số sản phẩm làm được trong 1 ngày) là: $\frac{888}{x}$ (sản phẩm/ngày).
Năng suất dự định là: $\frac{800}{x + 6}$ (sản phẩm/ngày).
Vì thực tế mỗi ngày đội làm tăng thêm 2 sản phẩm so với kế hoạch nên ta có phương trình:

$\frac{888}{x} - \frac{800}{x + 6} = 2$
Rút gọn chia cả 2 vế cho 2:

$\frac{444}{x} - \frac{400}{x + 6} = 1$
Quy đồng và khử mẫu:

$444(x + 6) - 400x = x(x + 6)$
$444x + 2664 - 400x = x^2 + 6x$
$x^2 - 38x - 2664 = 0$
Giải phương trình bậc hai trên ta được:

$\Delta' = (-19)^2 - 1 \cdot (-2664) = 361 + 2664 = 3025 = 55^2$
$x_1 = 19 + 55 = 74 \text{ (thỏa mãn)}$
$x_2 = 19 - 55 = -36 \text{ (loại)}$
Kết luận: Thời gian thực tế của đội là 74 ngày.

Bài 2
Tóm tắt bài toán:

Kế hoạch: 300 áo.
Thực tế: Năng suất tăng 10 áo/ngày, xong trước 1 ngày.
Yêu cầu: Tính năng suất thực tế (số áo may được trong 1 ngày).
Lời giải:

Gọi năng suất thực tế của tổ là $x$ (áo/ngày) ($x > 10$).

Vì thực tế mỗi ngày tăng 10 áo nên năng suất dự định là: $x - 10$ (áo/ngày).

Thời gian thực tế hoàn thành là: $\frac{300}{x}$ (ngày).
Thời gian dự định hoàn thành là: $\frac{300}{x - 10}$ (ngày).
Vì tổ xong trước thời hạn 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{300}{x - 10} - \frac{300}{x} = 1$
Quy đồng và khử mẫu:

$300x - 300(x - 10) = x(x - 10)$
$300x - 300x + 3000 = x^2 - 10x$
$x^2 - 10x - 3000 = 0$
Giải phương trình bậc hai:

$\Delta' = (-5)^2 - 1 \cdot (-3000) = 25 + 3000 = 3025 = 55^2$
$x_1 = 5 + 55 = 60 \text{ (thỏa mãn)}$
$x_2 = 5 - 55 = -50 \text{ (loại)}$
Kết luận: Thực tế mỗi ngày tổ may được 60 chiếc áo.

Bài 3
Tóm tắt bài toán:

Kế hoạch: 120 áo.
Thực tế: Năng suất tăng 3 áo/ngày, xong trước 2 ngày.
Yêu cầu: Tính thời gian dự định.
Lời giải:

Gọi thời gian dự định của tổ là $x$ (ngày) ($x > 2$).

Thời gian thực tế của tổ là: $x - 2$ (ngày).

Năng suất dự định là: $\frac{120}{x}$ (áo/ngày).
Năng suất thực tế là: $\frac{120}{x - 2}$ (áo/ngày).
Vì năng suất thực tế tăng thêm 3 áo/ngày so với dự định nên ta có phương trình:

$\frac{120}{x - 2} - \frac{120}{x} = 3$
Rút gọn chia cả 2 vế cho 3:
$\frac{40}{x - 2} - \frac{40}{x} = 1$
Quy đồng và khử mẫu:

$40x - 40(x - 2) = x(x - 2)$
$40x - 40x + 80 = x^2 - 2x$
$x^2 - 2x - 80 = 0$
Giải phương trình:

$\Delta' = (-1)^2 - 1 \cdot (-80) = 81 = 9^2$
$x_1 = 1 + 9 = 10 \text{ (thỏa mãn)}$
$x_2 = 1 - 9 = -8 \text{ (loại)}$
Kết luận: Thời gian dự định của tổ là 10 ngày.

Bài 4 và Bài 5 (Hai bài này có nội dung hoàn toàn trùng nhau)
Tóm tắt bài toán:

Năng suất dự định: 40 ha/ngày.
Năng suất thực tế: 52 ha/ngày.
Thực tế: Xong trước 2 ngày và vượt mức 4 ha.
Yêu cầu: Tính diện tích ruộng phải cày theo dự định.
Lời giải:

Gọi diện tích ruộng đội phải cày theo dự định là $x$ (ha) ($x > 0$).

Diện tích ruộng thực tế đội đã cày được là: $x + 4$ (ha).

Thời gian dự định hoàn thành: $\frac{x}{40}$ (ngày).
Thời gian thực tế hoàn thành: $\frac{x + 4}{52}$ (ngày).
Vì đội hoàn thành sớm hơn dự định 2 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{40} - \frac{x + 4}{52} = 2$$
Quy đồng mẫu số (mẫu chung là 520):

$13x - 10(x + 4) = 2 \cdot 520$
$13x - 10x - 40 = 1040$
$3x = 1080$
$x = 360 \text{ (thỏa mãn)}$
Kết luận: Diện tích ruộng đội phải cày theo dự định là 360 ha.

Bài 6
Tóm tắt bài toán:

Khối lượng công việc: 600 ngày công (Số người $\times$ Số ngày = 600).
Thay đổi: Nếu thêm 5 người thì số ngày hoàn thành giảm 10 ngày.
Yêu cầu: Tính số người của đội ban đầu.
Lời giải:

Gọi số người ban đầu của đội là $x$ (người) ($x \in \mathbb{N}^*$).

Số ngày hoàn thành công việc ban đầu là: $\frac{600}{x}$ (ngày).
Nếu thêm 5 người thì:

Số người mới là: $x + 5$ (người).
Số ngày hoàn thành mới là: $\frac{600}{x + 5}$ (ngày).
Vì số ngày hoàn thành giảm đi 10 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{600}{x} - \frac{600}{x + 5} = 10$
Rút gọn chia cả hai vế cho 10:

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 5} = 1$
Quy đồng và khử mẫu:

$60(x + 5) - 60x = x(x + 5)$
$60x + 300 - 60x = x^2 + 5x$
$x^2 + 5x - 300 = 0$
Giải phương trình bậc hai:

$\Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$
$x_1 = \frac{-5 + 35}{2} = 15 \text{ (thỏa mãn)}$
$x_2 = \frac{-5 - 35}{2} = -20 \text{ (loại)}$
Kết luận: Số người ban đầu của đội là 15 người.

Bài 7
Tóm tắt bài toán:

Sửa đường trong 3 ngày.
Ngày 1: $\frac{1}{3}$ đoạn đường.
Ngày 2: $\frac{4}{3}$ ngày thứ nhất.
Ngày 3: 80m còn lại.
Yêu cầu: Tính chiều dài toàn bộ đoạn đường.
Lời giải:

Gọi chiều dài toàn bộ đoạn đường là $x$ (m) ($x > 0$).

Số mét đường sửa được trong ngày thứ nhất là: $\frac{1}{3}x$ (m).
Số mét đường sửa được trong ngày thứ hai là: $\frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}x\right) = \frac{4}{9}x$ (m).
Số mét đường sửa được trong ngày thứ ba là: $80$ m.
Vì tổng số mét đường sửa trong 3 ngày bằng toàn bộ đoạn đường nên ta có phương trình:

$\frac{1}{3}x + \frac{4}{9}x + 80 = x$
Quy đồng mẫu số (mẫu chung là 9):

$3x + 4x + 720 = 9x$
$7x + 720 = 9x$
$2x = 720$
$x = 360 \text{ (thỏa mãn)}$
Kết luận: Chiều dài đoạn đường phải sửa là 360m.

Bài 8
Tóm tắt bài toán:

Năng suất kế hoạch: 50 tấn/ngày.
Năng suất thực tế: 57 tấn/ngày.
Thực tế: Hoàn thành trước 1 ngày và vượt mức 13 tấn.
Yêu cầu: Tính số tấn than theo kế hoạch.
Lời giải:

Gọi số tấn than đội phải khai thác theo kế hoạch là $x$ (tấn) ($x > 0$).

Số tấn than thực tế đội khai thác được là: $x + 13$ (tấn).

Thời gian dự định hoàn thành: $\frac{x}{50}$ (ngày).
Thời gian thực tế hoàn thành: $\frac{x + 13}{57}$ (ngày).
Vì đội hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{50} - \frac{x + 13}{57} = 1$
Quy đồng mẫu số (mẫu chung là $50 \times 57 = 2850$):
$57x - 50(x + 13) = 2850$
$57x - 50x - 650 = 2850$
$7x = 3500$
$x = 500 \text{ (thỏa mãn)}$
Kết luận: Theo kế hoạch đội phải khai thác 500 tấn than.

Bài 9
Tóm tắt bài toán:

Tháng đầu: Tổ I + Tổ II = 800 sản phẩm.
Tháng hai: Tổ I tăng 15%, Tổ II tăng 20%, tổng cộng làm được 945 sản phẩm.
Yêu cầu: Tính sản phẩm của mỗi tổ trong tháng đầu.
Lời giải:

Gọi số sản phẩm tổ một làm được trong tháng đầu là $x$ (sản phẩm) ($0 < x < 800, x \in \mathbb{N}$).

Gọi số sản phẩm tổ hai làm được trong tháng đầu là $y$ (sản phẩm) ($0 < y < 800, y \in \mathbb{N}$).

Theo đề bài, tháng đầu hai tổ làm được 800 sản phẩm nên ta có phương trình:

$x + y = 800 \quad (1)$
Sang tháng thứ hai:

Tổ một làm được: $x + 15\%x = 1,15x$ (sản phẩm).
Tổ hai làm được: $y + 20\%y = 1,2y$ (sản phẩm).

Do tháng hai cả hai tổ làm được 945 sản phẩm nên ta có phương trình:

$1,15x + 1,2y = 945 \quad (2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} x + y = 800 \\ 1,15x + 1,2y = 945 \end{cases}$
Nhân phương trình (1) với 1,2 ta được:

$\begin{cases} 1,2x + 1,2y = 960 \\ 1,15x + 1,2y = 945 \end{cases}$
Trừ vế theo vế hai phương trình trên:

$0,05x = 15 \implies x = 300$
Thay $x = 300$ vào phương trình (1):

$300 + y = 800 \implies y = 500$
(Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Trong tháng đầu, tổ một làm được 300 sản phẩm, tổ hai làm được 500 sản phẩm.

Bài 10
Tóm tắt bài toán:

Kế hoạch: Tổ I + Tổ II = 800 sản phẩm.
Thực tế: Tổ I tăng 10%, Tổ II tăng 20%, tổng cộng làm được 910 sản phẩm.
Yêu cầu: Tính số sản phẩm theo kế hoạch của mỗi tổ.
Lời giải:

Gọi số sản phẩm theo kế hoạch của tổ một và tổ hai lần lượt là $x$ và $y$ (sản phẩm) ($x, y \in \mathbb{N}^*; x, y < 800$).

Theo kế hoạch, hai tổ phải làm 800 sản phẩm nên ta có phương trình:

$x + y = 800 \quad (1)$
Khi thực hiện:

Tổ một tăng năng suất 10% nên làm được: $1,1x$ (sản phẩm).
Tổ hai tăng năng suất 20% nên làm được: $1,2y$ (sản phẩm).

Thực tế họ làm được tổng cộng 910 sản phẩm nên ta có phương trình:

$1,1x + 1,2y = 910 \quad (2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} x + y = 800 \\ 1,1x + 1,2y = 910 \end{cases}$
Nhân phương trình (1) với 1,1 ta được:

$\begin{cases} 1,1x + 1,1y = 880 \\ 1,1x + 1,2y = 910 \end{cases}$
Trừ vế theo vế:

$0,1y = 30 \implies y = 300$
Thay $y = 300$ vào phương trình (1):

$x + 300 = 800 \implies x = 500$
(Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Theo kế hoạch, tổ một phải làm 500 sản phẩm, tổ hai phải làm 300 sản phẩm.