Ta có\(\left( {A'{\rm{AC}}} \right)\)là mặt phẳng chứa \(A'{\rm{C}}\) và song song với \({\rm{B}}B' \Rightarrow {\rm{d}}\left( {{\rm{B}}B',A'{\rm{C}}} \right) = {\rm{d}}\left( {{\rm{B}},\,\left( {{\rm{A}}A'{\rm{C}}} \right)} \right)\).

Gọi \(O\) là tâm hình thoi \(ABCD \Rightarrow BO \bot AC\).

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp đứng nên \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot BO\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BO \bot AC}\\{BO \bot AA'}\end{array} \Rightarrow BO \bot \left( {AA'C} \right) \Rightarrow d\left( {B,\,\,\left( {AA'C} \right)} \right) = BO} \right.\).

Hình thoi \({\rm{ABCD}}\) có \(\widehat {{\rm{ABC}}} = 120^\circ \Rightarrow {\rm{ABC}}\) là tam giác đều \( \Rightarrow {\rm{BD}} = {\rm{AB}} = {\rm{a}} \Rightarrow {\rm{BO}} = \frac{{\rm{a}}}{2}\).

Vậy \(d\left( {BB',A'C} \right) = d\left( {B,\left( {AA'C} \right)} \right) = BO = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Đáp án: 2.