Tỉ số \(\frac{V_{1}}{V_{2}}\) bằng \(\frac{9}{32}\) (đáp án D).

1. Xác định kích thước tam giác đều
Giả sử tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh bằng \(a\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên đoạn \(BM = \frac{a}{2}\).
Đường cao \(AM\) của tam giác đều \(ABC\) được tính theo công thức:
\(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

2. Tính thể tích khối nón
Khi quay tam giác vuông \(ABM\) xung quanh trục \(AM\):
Khối nón tạo thành có bán kính đáy \(r = BM = \frac{a}{2}\).
Chiều cao của khối nón là \(h = AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Thể tích của khối nón \(V_{1}\) là:
\(V_{1}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \left(\frac{a}{2}\right)^{2}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}\pi \)

3. Tính thể tích khối cầu
Đường tròn tâm \(I\) đường kính \(AA^{\prime }\) chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\). Tâm \(I\) cũng đồng thời là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và nằm trên đường thẳng \(AM\). Khi quay nửa hình tròn này quanh trục \(AM\), ta thu được một khối cầu có bán kính \(R = IA\).
Bán kính khối cầu được tính bằng:
\(R=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Thể tích của khối cầu \(V_{2}\) là:
\(V_{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^{3}=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3a^{3}\sqrt{3}}{27}=\frac{4a^{3}\sqrt{3}}{27}\pi \)

4. Lập tỉ số thể tích
Tiến hành chia thể tích khối nón cho thể tích khối cầu:
\(\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}\pi }{\frac{4a^{3}\sqrt{3}}{27}\pi }=\frac{1}{24}:\frac{4}{27}=\frac{1}{24}\cdot \frac{27}{4}=\frac{9}{32}\)

✅ Kết luận
Tỉ số thể tích giữa khối nón \(V_{1}\) và khối cầu \(V_{2}\) thu được khi quay quanh trục \(AM\) là \(\frac{9}{32}\), tương ứng với phương án D. 

Giả sử tam giác \[ABC\] đều cạnh 1.

Khi đó ta có \(AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AI = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} = R\)

Do đó $V_2=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^3=\frac{4\sqrt{3}}{27};V_1=\frac{1}{3}\pi \cdot B{M}^2\cdot AM=\frac{1}{3}\pi \cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{24}.$

Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{24}}:\frac{{4\sqrt 3 }}{{27}} = \frac{9}{{32}}\). Chọn D.