Đáp án đúng là C. \((0 ; 0)\) và \(\left(0 ; \frac{4}{3}\right)\).

1. Xác định tọa độ điểm M
Vì điểm \(M\) thuộc trục tung \(Oy\), tọa độ của điểm \(M\) có dạng tổng quát là \(M(0; y)\).

2. Thiết lập công thức diện tích
Ta có hai điểm \(A(1; 2)\) và \(B(4; 6)\). Diện tích của tam giác \(MAB\) được tính theo công thức tọa độ như sau:
\(S_{\Delta MAB}=\frac{1}{2}|x_{A}(y_{B}-y_{M})+x_{B}(y_{M}-y_{A})+x_{M}(y_{A}-y_{B})|\)
Thay các giá trị tọa độ của \(A\), \(B\), \(M\) vào công thức, ta có:
\(S_{\Delta MAB}=\frac{1}{2}|1\cdot (6-y)+4\cdot (y-2)+0\cdot (2-6)|\)
\(S_{\Delta MAB}=\frac{1}{2}|6-y+4y-8|=\frac{1}{2}|3y-2|\)

3. Tìm giá trị của y
Theo giả thiết, diện tích tam giác \(MAB\) bằng \(1\), do đó ta có phương trình:
\(\frac{1}{2}|3y-2|=1\Leftrightarrow |3y-2|=2\)
Trường hợp này dẫn đến hai khả năng:
Trường hợp 1: \(3y - 2 = 2 \Leftrightarrow 3y = 4 \Leftrightarrow y = \frac{4}{3} \Rightarrow M\left(0; \frac{4}{3}\right)\)
Trường hợp 2: \(3y - 2 = -2 \Leftrightarrow 3y = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow M(0; 0)\)

Giải thích tính đúng sai của các lựa chọn:
🟢 C. \((0 ; 0)\) và \(\left(0 ; \frac{4}{3}\right)\): Đúng vì cả hai tung độ \(y = 0\) và \(y = \frac{4}{3}\) đều thỏa mãn điều kiện diện tích tam giác bằng \(1\).
🔴 A. \((0 ; 2)\) và \(\left(0 ; \frac{4}{3}\right)\): Sai vì điểm \((0; 2)\) khi thay vào cho diện tích bằng \(\frac{1}{2}\vert{}3(2)-2\vert{} = 2 \neq 1\).
🔴 B. \((0 ; 1)\) và \(\left(0 ; \frac{4}{3}\right)\): Sai vì điểm \((0; 1)\) khi thay vào cho diện tích bằng \(\frac{1}{2}\vert{}3(1)-2\vert{} = \frac{1}{2} \neq 1\).
🔴 D. \((1 ; 0)\) và \((0 ; 0)\): Sai vì điểm \((1; 0)\) không nằm trên trục \(Oy\) (hoành độ khác \(0\)). [1, 2]

Kết luận ✅
Tọa độ điểm \(M \in Oy\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(M(0; 0)\) và \(M\left(0; \frac{4}{3}\right)\).