Đáp án đúng là B. 2.

1. Tính đạo hàm hàm số
Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).
Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{m^2 - m}{3} x^3 + (m^2 - m) x^2 + m x + 2\) là:
\(y^{\prime }=(m^{2}-m)x^{2}+2(m^{2}-m)x+m\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y' \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) (và dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm).

2. Xét trường hợp hệ số bậc hai bằng 0
Hệ số của \(x^{2}\) bằng \(0\) khi:
\(m^{2}-m=0\iff \left[\begin{aligned}m&=0\\ m&=1\end{aligned}\right.\)
Với \(m = 0\): \(y' = 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Khi đó hàm số trở thành hàm hằng \(y = 2\), không đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (loại).
Với \(m = 1\): \(y' = 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn).

3. Xét trường hợp hệ số bậc hai khác 0
Khi \(m \neq 0\) và \(m \neq 1\), tam thức bậc hai \(y^{\prime }\) không âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
\(\left\{\begin{aligned}a&>0\\ \Delta ^{\prime }&\le 0\end{aligned}\right.\iff \left\{\begin{aligned}m^{2}-m&>0\\ (m^{2}-m)^{2}-m(m^{2}-m)&\le 0\end{aligned}\right.\)
Giải hệ điều kiện trên:
\(\left\{\begin{aligned}m<0\text{\ hoc\ }m>1&\\ (m^{2}-m)(m^{2}-2m)&\le 0\end{aligned}\right.\)
Vì \(m^2 - m > 0\), bất phương trình thứ hai tương đương với:
\(m^{2}-2m\le 0\iff 0\le m\le 2\)
Kết hợp điều kiện \(m < 0\) hoặc \(m > 1\), ta được:
\(1<m\le 2\)

4. Tổng hợp các giá trị nguyên
Kết hợp cả hai trường hợp, ta có tập hợp các giá trị của \(m\) là \(1 \leq m \leq 2\).
Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \{1, 2\}\).
Có tất cả \(2\) giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

O A. 1 là sai vì bỏ sót giá trị \(m = 2\) hoặc \(m = 1\).
✅ B. 2 là đúng vì tìm chính xác được hai giá trị \(m = 1\) và \(m = 2\).
O C. 3 là sai vì tính nhầm hoặc lấy cả giá trị không thỏa mãn \(m = 0\).
O D. 5 là sai do giải sai bất phương trình điều kiện \(\Delta ^{\prime }\).

✅ Kết luận
Có tất cả \(2\) giá trị nguyên của tham số \(m\) (là \(m = 1\) và \(m = 2\)) để hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Điều kiện để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là:

\(y' = \left( {{m^2} - m} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} - m} \right)x + m \ge 0\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

TH1: Xét \({m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = 1}\end{array}} \right.\).

• Với \(m = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow \) Hàm số đã cho là hàm hằng. Vậy loại \(m = 0\).

• Với \(m = 1 \Rightarrow y = x + 2 \Rightarrow \) Hàm số đã cho luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Vậy \(m = 1\) thỏa mãn.

TH2: \({m^2} - m \ne 0\). Khi đó để \(y' \ge 0\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) thì

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m > 0}\\{\Delta ' = {{\left( {{m^2} - m} \right)}^2} - m\left( {{m^2} - m} \right) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - m > 0}\\{{m^2} - 2m \le 0}\end{array} \Leftrightarrow 1 < m \le 2.} \right.} \right.\]

Vậy có 2 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.