Đáp án đúng là B. \(2 \ln \vert{}x + 1\vert{} - \ln \vert{}x + 2\vert{} + C\).

1. Phân tích mẫu số
Mẫu số là một tam thức bậc hai, ta có thể phân tích thành nhân tử:
\(x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)\)

2. Tách phân thức đại số
Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để tách phân thức thành hai phân thức đơn giản:
\(\frac{x+3}{x^{2}+3x+2}=\frac{x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}\)
Quy đồng mẫu số vế phải:
\(\frac{A(x+2)+B(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{(A+B)x+(2A+B)}{x^{2}+3x+2}\)
Đồng nhất hệ số với tử số ban đầu (\(x + 3\)), ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}A+B=1\\ 2A+B=3\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}A=2\\ B=-1\end{cases}\)
Do đó:
\(\frac{x+3}{x^{2}+3x+2}=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)

3. Tính toán nguyên hàm
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản \(\int \frac{1}{a} \frac{d(ax+b)}{ax+b} = \frac{1}{a} \ln \vert{}ax+b\vert{} + C\), ta được:
\(\int \frac{x+3}{x^{2}+3x+2}\,dx=\int \left(\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)\,dx=2\ln |x+1|-\ln |x+2|+C\)

✅ Kết luận
Kết quả của phép tính nguyên hàm \(\int \frac{x + 3}{x^2 + 3x + 2} \, dx\) bằng \(2 \ln \vert{}x + 1\vert{} - \ln \vert{}x + 2\vert{} + C\).
❌ Option A sai dấu trước cả hai hạng tử rời rạc.
❌ Option C sai dấu của số hạng thứ hai (phải là dấu trừ thay vì dấu cộng).
❌ Option D hoán đổi sai hệ số của các biến logarit.