Đáp án đúng là A. 1.
Dưới đây là lời giải chi tiết từng bước để tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng \((0 ; \pi)\):

1. Biến đổi phương trình lượng giác
Ta có phương trình ban đầu:
\(\sin x+\sqrt{3}\cos x=1\)
Chia cả hai vế của phương trình cho \(2\), ta được:
\(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{1}{2}\)
Sử dụng công thức lượng giác \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) và \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), phương trình được đưa về dạng:
\(\sin x\cdot \cos \frac{\pi }{3}+\cos x\cdot \sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\)
\(\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}\)

2. Tìm họ nghiệm tổng quát
Giải phương trình lượng giác cơ bản ở trên, ta thu được hai họ nghiệm:
Họ nghiệm thứ nhất:
\(x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \implies x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \quad (k\in \mathbb{Z})\)
Họ nghiệm thứ hai:
\(x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \implies x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \quad (k\in \mathbb{Z})\)

3. Sàng lọc nghiệm trong khoảng cho trước
Ta tìm các giá trị nguyên \(k\) sao cho nghiệm thuộc khoảng \((0 ; \pi)\):
Xét họ nghiệm \(x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi\):
\(0<-\frac{\pi }{6}+k2\pi <\pi \implies \frac{\pi }{6}<k2\pi <\frac{7\pi }{6}\implies \frac{1}{12}<k<\frac{7}{12}\)
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên không có giá trị \(k\) nào thỏa mãn trường hợp này.
Xét họ nghiệm \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\):
\(0<\frac{\pi }{2}+k2\pi <\pi \implies -\frac{\pi }{2}<k2\pi <\frac{\pi }{2}\implies -\frac{1}{4}<k<\frac{1}{4}\)
Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên ta chọn được \(k = 0\). Thay vào ta có nghiệm \(x = \frac{\pi}{2}\).

Như vậy, trên khoảng \((0 ; \pi)\), phương trình có duy nhất \(1\) nghiệm là \(x = \frac{\pi}{2}\).

Giải thích chi tiết các phương án
🟢 A. 1: Đây là đáp án chính xác vì sau khi giải và chặn khoảng, ta chỉ tìm được duy nhất một nghiệm thỏa mãn là \(x = \frac{\pi}{2}\).
🔴 B. 3: Sai do tính toán sai chu kỳ biến đổi lượng giác hoặc lấy sai khoảng giá trị của bài toán.
🔴 C. 0: Sai vì phương trình vẫn tồn tại nghiệm thực thuộc khoảng đã cho.
🔴 D. 2: Sai do lấy nhầm cả giá trị nghiệm âm từ họ nghiệm đầu tiên khi quên điều kiện của khoảng \((0 ; \pi)\).

Kết luận ✅
Số nghiệm của phương trình \(\sin x + \sqrt{3} \cos x = 1\) trên khoảng \((0 ; \pi)\) là \(1\).