Đáp án đúng là C. 4.

1. Điều kiện xác định
Bất phương trình đã cho được viết chính xác dưới dạng toán học là: \(\left\vert{} \frac{2}{x - 13} \right\vert{} > \frac{8}{9}\).
Điều kiện xác định: \(x - 13 \neq 0 \iff x \neq 13\). 

2. Giải bất phương trình
Biến đổi bất phương trình đã cho:
\(\frac{2}{|x-13|}>\frac{8}{9}\)
Vì cả hai vế đều dương, ta có thể nghịch đảo và đổi chiều bất phương trình:
\(|x-13|<\frac{2\times 9}{8}\)
\(|x-13|<\frac{9}{4}\)
\(|x-13|<2,25\)
Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
\(-2,25<x-13<2,25\)
\(13-2,25<x<13+2,25\)
\(10,75<x<15,25\)

3. Tìm các nghiệm nguyên
Do \(x\) là số nguyên (\(x \in \mathbb{Z}\)) và kết hợp với điều kiện \(x \neq 13\), ta tìm được các giá trị nguyên thỏa mãn trong khoảng \((10{,}75; 15{,}25)\) là:
\(x\in \{11;12;14;15\}\)
Như vậy, bất phương trình có tổng cộng 4 nghiệm nguyên.

🟢 C. 4: Đây là đáp án chính xác vì qua quá trình giải và liệt kê, chúng ta tìm được đúng 4 giá trị nguyên thỏa mãn.
🔴 A. 2: Sai do đếm thiếu nghiệm (có thể do bỏ sót các giá trị nhỏ hơn hoặc lớn hơn \(13\)).
🔴 B. 3: Sai do quên không loại trừ điều kiện \(x \neq 13\) (nếu tính cả \(13\) thì khoảng trên có 5 số, nếu tính sai có thể ra 3 số).
🔴 D. 5: Sai vì nếu tính cả giá trị \(x = 13\) (làm mẫu số bằng 0, không xác định) thì mới có 5 giá trị nguyên nằm trong khoảng từ \(11\) đến \(15\).

✅ Kết luận
Số các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là 4.