Với \(m \ne 0\), ta có \(y' = m\left( {12{x^2} - 36x + 24} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 2}\end{array}} \right..\)

TH1: \(m > 0\) suy ra \(x = 1\) là điểm cực đại của hàm số

Do đó \(A\left( {1\,;\,\,m + 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {1\,;\,\,m + 1} \right) \Leftrightarrow OA = \sqrt {{{(m + 1)}^2} + 1} \)

Mà \(OA < 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 1} < 10 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} < 99\)

\( \Leftrightarrow - 3\sqrt {11} - 1 < m < 3\sqrt {11} - 1\)

Kết hợp với \(m > 0,m \in \mathbb{Z}\) suy ra \(m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8} \right\}.\)

TH2: \(m < 0\) suy ra \(x = 2\) là điểm cực đại của hàm số

Do đó \(A\left( {2\,;\,\,1 - m} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( {1\,;\,\,1 - m} \right) \Leftrightarrow OA = \sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + 1} \)

Mà \(OA < 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + 1} < 10 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} < 99\)\( \Leftrightarrow - 3\sqrt {11} + 1 < m < 3\sqrt {11} + 1\).

Kết hợp với \(m < 0\,,\,\,m \in \mathbb{Z}\) suy ra \[m \in \left\{ { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\, - 3\,;\,\, - 4\,;\,\, - 5\,;\,\, - 6\,;\,\, - 7\,;\,\, - 8} \right\}.\]

Vậy có tất cả 16 giá trị nguyên của tham số m.

Đáp án: 16.