Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác cân tại $A$ có $AB = AC = 2a,$ $\widehat {CAB} = 120^\circ .$ Mặt phẳng $\left( {AB'C'} \right)$ (ảnh 1)$

Gọi $D$ là trung điểm của $B'C'$.

Vì tam giác $A'B'C'$ cân tại $A'$ nên $A'D \bot B'C'$ (trung tuyến đồng thời là đường cao).

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A'D \bot B'C'}\\{AA' \bot B'C'}\end{array}} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'D} \right) \Rightarrow B'C' \bot AD$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {AB'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'C'}\\{\left( {AB'C'} \right) \supset AD \bot B'C'}\\{\left( {A'B'C'} \right) \supset A'D \bot B'C'}\end{array}} \right.$

\[ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AD,\,\,A'D} \right)} = \widehat {ADA'} = 60^\circ \].

Vì tam giác $A'B'C'$ cân tại $A'$ nên $\widehat {DA'C'} = \frac{1}{2}\widehat {B'A'C'} = 60^\circ $ (trung tuyến đồng thời là phân giác).

• Xét tam giác vuông $A'C'D$ có: $A'D = A'C' \cdot \cos 60^\circ = 2a \cdot \frac{1}{2} = a.$

• Xét tam giác vuông $AA'D$ có: $AA' = A'D \cdot \tan 60^\circ = a \cdot \sqrt 3 .$

Ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3 .$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = AA' \cdot {S_{ABC}} = a\sqrt 3 \cdot {a^2}\sqrt 3 = 3{a^3}.$ Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2