Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hình học phẳng kết hợp với tính chất của hình bình hành và vectơ (hoặc tịnh tiến) để xác định các điểm cố định.

1. Phân tích bài toán và vẽ hình
Dữ kiện đã cho: Đoạn thẳng $PQ$ cố định.
Điểm $A$ cố định nằm ngoài đường thẳng $PQ$.
Hình bình hành $ABCD$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn: đường chéo $BD \parallel PQ$ và độ dài $BD = PQ$.
Nhận xét quan trọng: Vì $BD \parallel PQ$ và $BD = PQ$, nên tứ giác tạo bởi hai đoạn thẳng $BD$ và $PQ$ sẽ là một hình bình hành (hoặc hình thang cân suy biến nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng, nhưng ở đây $A$ nằm ngoài $PQ$). Do đó, vectơ $\vec{BD}$ sẽ bằng vectơ $\vec{PQ}$ hoặc bằng vectơ $\vec{QP}$.
Có hai trường hợp xảy ra tùy thuộc vào chiều của vectơ $\vec{BD}$:
Trường hợp 1: $\vec{BD} = \vec{PQ}$
Trường hợp 2: $\vec{BD} = \vec{QP}$
Chúng ta sẽ chứng minh cho Trường hợp 1 ($\vec{BD} = \vec{PQ}$), trường hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự.
2. Chứng minh đường thẳng $BC$ đi qua một điểm cố định
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên ta có:
$\vec{AD} = \vec{BC}$
Mặt khác, theo giả thiết của Trường hợp 1, ta có:
$\vec{BD} = \vec{PQ}$
Áp dụng quy tắc hiệu vectơ, ta có:
$\vec{AD} - \vec{AB} = \vec{BD} \implies \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}$
Thay $\vec{AD} = \vec{BC}$ và $\vec{BD} = \vec{PQ}$ vào đẳng thức trên, ta được:
$\vec{BC} = \vec{AB} + \vec{PQ} \implies \vec{BC} - \vec{AB} = \vec{PQ}$
$\implies \vec{AC} = \vec{PQ}$
Dựng điểm $E$ sao cho $\vec{AE} = \vec{PQ}$. Vì $A$ cố định, đoạn thẳng $PQ$ cố định nên điểm $E$ là một điểm cố định.
Từ $\vec{AC} = \vec{PQ}$ và $\vec{AE} = \vec{PQ}$, ta suy ra:
$\vec{AC} = \vec{AE} \implies C \equiv E$
Khi $C$ trùng với $E$, mà $E$ cố định, điều này có nghĩa là đỉnh $C$ của hình bình hành thực chất là một điểm cố định!
Vì điểm $C$ cố định nên đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm $C$ cố định. (Nếu bài toán yêu cầu tìm điểm cố định khác ngoài các đỉnh của hình bình hành, ta xét tiếp vị trí của $BC$).
3. Chứng minh đường thẳng $CD$ luôn đi qua một điểm cố định
Ta đã biết $ABCD$ là hình bình hành nên:
$CD \parallel AB \quad \text{và} \quad CD = AB$
Do đó: $\vec{CD} = \vec{BA}$ (hoặc $\vec{DC} = \vec{AB}$).
Dựng điểm $F$ sao cho $\vec{AF} = \vec{PQ}$ (đã dựng ở trên chính là điểm $E$). Bây giờ ta cần tìm một mối liên hệ khác độc lập với các điểm di động $B, D$.
Ta có:
$\vec{FD} = \vec{AD} - \vec{AF}$
Mà $\vec{AF} = \vec{PQ} = \vec{BD}$ (theo giả thiết).
$\implies \vec{FD} = \vec{AD} - \vec{BD} = \vec{AB}$
Vì $\vec{FD} = \vec{AB}$ và $\vec{AB} = \vec{DC}$ (tính chất hình bình hành $ABCD$), ta suy ra:
$\vec{FD} = \vec{DC}$
Đẳng thức vectơ $\vec{FD} = \vec{DC}$ chứng tỏ $D$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $FC$.
Do đó, ba điểm $F, D, C$ thẳng hàng, hay đường thẳng $CD$ chính là đường thẳng $FC$.
Mà:
Điểm $C$ cố định (như đã chứng minh ở phần 2: $\vec{AC} = \vec{PQ}$).
Điểm $F$ (hay $E$) cố định do $\vec{AF} = \vec{PQ}$.
Vì cả hai điểm $F$ và $C$ đều cố định, nên đường thẳng $FC$ là một đường thẳng cố định.
Vậy đường thẳng $CD$ luôn trùng với đường thẳng $FC$ cố định, tức là nó luôn đi qua các điểm cố định $F$ và $C$.
Kết luận:
Nếu $\vec{BD} = \vec{PQ}$: Đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm $C$ cố định (với $\vec{AC} = \vec{PQ}$), và đường thẳng $CD$ luôn trùng với đường thẳng cố định đi qua $A$ và song song/bằng $PQ$.
Nếu $\vec{BD} = \vec{QP}$: Chứng minh tương tự bằng cách đảo ngược chiều vectơ, các đường thẳng $BC$ và $CD$ cũng sẽ đi qua các điểm cố định tương ứng đối xứng qua $A$.

Lời giải chi tiết
1. Khảo sát điểm C:
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\vec{BC} = \vec{AD}\).
Theo giả thiết, đoạn thẳng \(BD\) có độ dài không đổi và hướng song song với đoạn cố định \(PQ\). Do đó, vectơ \(\vec{BD}\) (hoặc \(\vec{DB}\)) là một vectơ không đổi (về hướng và độ lớn).
Theo quy tắc cộng vectơ, ta có \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD}\) (không đổi).
Từ đây suy ra \(\vec{AC}\) là một vectơ cố định. Vì điểm \(A\) cố định nên điểm \(C\) là một điểm cố định.

2. Khảo sát đường thẳng BC:
Theo phần 1, điểm \(C\) là một điểm cố định.
Do tính chất hình bình hành, đường thẳng \(BC\) luôn đi qua điểm \(C\) cố định.

3. Khảo sát đường thẳng CD:
Ta có \(\vec{AD} = \vec{BC}\) và \(\vec{BC} = \vec{BD} + \vec{DC}\). Suy ra: \(\vec{AD} = \vec{BD} + \vec{DC} \Rightarrow \vec{DA} = \vec{CD} - \vec{BD}\) hay \(\vec{CD} = \vec{DA} + \vec{BD}\).
Mặt khác, do giả thiết \(BD \parallel PQ\) và \(BD = PQ\), ta có thể ký hiệu \(\vec{u} = \vec{BD}\). Vì đoạn \(PQ\) cố định nên \(\vec{u}\) là vectơ cố định.
Đẳng thức trên trở thành \(\vec{CD} = \vec{DA} + \vec{u}\).
Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\vec{IA} + \vec{u} = \vec{0}\), tức là \(\vec{AI} = \vec{u} = \vec{BD}\). Vì \(A\) và \(\vec{u}\) cố định nên điểm \(I\) cố định.
Thay vào đẳng thức véc-tơ của \(\vec{CD}\), ta có: \(\vec{CI} + \vec{ID} = \vec{CI} + \vec{IA} + \vec{AD}\) ... (Vận dụng phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{u}\)).

Kết luận
Khi điểm \(B\) và \(D\) thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán:
Đường thẳng \(BC\) luôn đi qua điểm \(C\) cố định.
Đường thẳng \(CD\) luôn đi qua điểm \(I\) cố định (xác định bởi \(\vec{AI} = \vec{BD}\)).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hình học phẳng kết hợp với tính chất của hình bình hành và vectơ (hoặc tịnh tiến) để xác định các điểm cố định.

1. Phân tích bài toán và vẽ hình
Dữ kiện đã cho: Đoạn thẳng $PQ$ cố định.
Điểm $A$ cố định nằm ngoài đường thẳng $PQ$.
Hình bình hành $ABCD$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn: đường chéo $BD \parallel PQ$ và độ dài $BD = PQ$.
Nhận xét quan trọng: Vì $BD \parallel PQ$ và $BD = PQ$, nên tứ giác tạo bởi hai đoạn thẳng $BD$ và $PQ$ sẽ là một hình bình hành (hoặc hình thang cân suy biến nếu chúng nằm trên cùng một đường thẳng, nhưng ở đây $A$ nằm ngoài $PQ$). Do đó, vectơ $\vec{BD}$ sẽ bằng vectơ $\vec{PQ}$ hoặc bằng vectơ $\vec{QP}$.
Có hai trường hợp xảy ra tùy thuộc vào chiều của vectơ $\vec{BD}$:
Trường hợp 1: $\vec{BD} = \vec{PQ}$
Trường hợp 2: $\vec{BD} = \vec{QP}$
Chúng ta sẽ chứng minh cho Trường hợp 1 ($\vec{BD} = \vec{PQ}$), trường hợp còn lại chứng minh hoàn toàn tương tự.
2. Chứng minh đường thẳng $BC$ đi qua một điểm cố định
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên ta có:
$\vec{AD} = \vec{BC}$
Mặt khác, theo giả thiết của Trường hợp 1, ta có:
$\vec{BD} = \vec{PQ}$
Áp dụng quy tắc hiệu vectơ, ta có:
$\vec{AD} - \vec{AB} = \vec{BD} \implies \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}$
Thay $\vec{AD} = \vec{BC}$ và $\vec{BD} = \vec{PQ}$ vào đẳng thức trên, ta được:
$\vec{BC} = \vec{AB} + \vec{PQ} \implies \vec{BC} - \vec{AB} = \vec{PQ}$
$\implies \vec{AC} = \vec{PQ}$
Dựng điểm $E$ sao cho $\vec{AE} = \vec{PQ}$. Vì $A$ cố định, đoạn thẳng $PQ$ cố định nên điểm $E$ là một điểm cố định.
Từ $\vec{AC} = \vec{PQ}$ và $\vec{AE} = \vec{PQ}$, ta suy ra:
$\vec{AC} = \vec{AE} \implies C \equiv E$
Khi $C$ trùng với $E$, mà $E$ cố định, điều này có nghĩa là đỉnh $C$ của hình bình hành thực chất là một điểm cố định!
Vì điểm $C$ cố định nên đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm $C$ cố định. (Nếu bài toán yêu cầu tìm điểm cố định khác ngoài các đỉnh của hình bình hành, ta xét tiếp vị trí của $BC$).
3. Chứng minh đường thẳng $CD$ luôn đi qua một điểm cố định
Ta đã biết $ABCD$ là hình bình hành nên:
$CD \parallel AB \quad \text{và} \quad CD = AB$
Do đó: $\vec{CD} = \vec{BA}$ (hoặc $\vec{DC} = \vec{AB}$).
Dựng điểm $F$ sao cho $\vec{AF} = \vec{PQ}$ (đã dựng ở trên chính là điểm $E$). Bây giờ ta cần tìm một mối liên hệ khác độc lập với các điểm di động $B, D$.
Ta có:
$\vec{FD} = \vec{AD} - \vec{AF}$
Mà $\vec{AF} = \vec{PQ} = \vec{BD}$ (theo giả thiết).
$\implies \vec{FD} = \vec{AD} - \vec{BD} = \vec{AB}$
Vì $\vec{FD} = \vec{AB}$ và $\vec{AB} = \vec{DC}$ (tính chất hình bình hành $ABCD$), ta suy ra:
$\vec{FD} = \vec{DC}$
Đẳng thức vectơ $\vec{FD} = \vec{DC}$ chứng tỏ $D$ chính là trung điểm của đoạn thẳng $FC$.
Do đó, ba điểm $F, D, C$ thẳng hàng, hay đường thẳng $CD$ chính là đường thẳng $FC$.
Mà:
Điểm $C$ cố định (như đã chứng minh ở phần 2: $\vec{AC} = \vec{PQ}$).
Điểm $F$ (hay $E$) cố định do $\vec{AF} = \vec{PQ}$.
Vì cả hai điểm $F$ và $C$ đều cố định, nên đường thẳng $FC$ là một đường thẳng cố định.
Vậy đường thẳng $CD$ luôn trùng với đường thẳng $FC$ cố định, tức là nó luôn đi qua các điểm cố định $F$ và $C$.
Kết luận:
Nếu $\vec{BD} = \vec{PQ}$: Đường thẳng $BC$ luôn đi qua điểm $C$ cố định (với $\vec{AC} = \vec{PQ}$), và đường thẳng $CD$ luôn trùng với đường thẳng cố định đi qua $A$ và song song/bằng $PQ$.
Nếu $\vec{BD} = \vec{QP}$: Chứng minh tương tự bằng cách đảo ngược chiều vectơ, các đường thẳng $BC$ và $CD$ cũng sẽ đi qua các điểm cố định tương ứng đối xứng qua $A$.